Sqrt[x+8]-x+2=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\left(- x + \sqrt{x + 8}\right) + 2 = 0$$
$$\sqrt{x + 8} = x - 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x + 8 = \left(x - 2\right)^{2}$$
$$x + 8 = x^{2} - 4 x + 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 5 x + 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 5$$
$$c = 4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (-1) * (4) = 41

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$

Como
$$\sqrt{x + 8} = x - 2$$
y
$$\sqrt{x + 8} \geq 0$$
entonces
$$x - 2 \geq 0$$
o
$$2 \leq x$$
$$x < \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$