(x+2)^(1/2)-(2x-3)^(1/2)=1 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x + 2} - \sqrt{2 x - 3} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x + 2} - \sqrt{2 x - 3}\right)^{2} = 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(2 x - 3\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)} + 1^{2} \left(x + 2\right)\right) = 1$$
o
$$3 x - 2 \sqrt{2 x^{2} + x - 6} - 1 = 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{2 x^{2} + x - 6} = 2 - 3 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$8 x^{2} + 4 x - 24 = \left(2 - 3 x\right)^{2}$$
$$8 x^{2} + 4 x - 24 = 9 x^{2} - 12 x + 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 16 x - 28 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 16$$
$$c = -28$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(16)^2 - 4 * (-1) * (-28) = 144

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 14$$

Como
$$\sqrt{2 x^{2} + x - 6} = \frac{3 x}{2} - 1$$
y
$$\sqrt{2 x^{2} + x - 6} \geq 0$$
entonces
$$\frac{3 x}{2} - 1 \geq 0$$
o
$$\frac{2}{3} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 14$$
comprobamos:
$$x_{1} = 2$$
$$\sqrt{x_{1} + 2} - \sqrt{2 x_{1} - 3} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{-3 + 2 \cdot 2} + \sqrt{2 + 2}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = 14$$
$$\sqrt{x_{2} + 2} - \sqrt{2 x_{2} - 3} - 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{-3 + 2 \cdot 14} + \sqrt{2 + 14}\right) - 1 = 0$$
=

-2 = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2$$