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x^4+16=0

x^4+16=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
 4         
x  + 16 = 0
x4+16=0x^{4} + 16 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x4+16=0x^{4} + 16 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -16 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z4=−16z^{4} = -16
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r4e4ip=−16r^{4} e^{4 i p} = -16
donde
r=2r = 2
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e4ip=−1e^{4 i p} = -1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(4p)+cos⁡(4p)=−1i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1
es decir
cos⁡(4p)=−1\cos{\left(4 p \right)} = -1
y
sin⁡(4p)=0\sin{\left(4 p \right)} = 0
entonces
p=πN2+π4p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=−2−2iz_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i
z2=−2+2iz_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i
z3=2−2iz_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i
z4=2+2iz_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=−2−2ix_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i
x2=−2+2ix_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i
x3=2−2ix_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i
x4=2+2ix_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i
Gráfica
-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5020
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
    ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
- \/ 2  - I*\/ 2  + - \/ 2  + I*\/ 2  + \/ 2  - I*\/ 2  + \/ 2  + I*\/ 2
((2−2i)+((−2−2i)+(−2+2i)))+(2+2i)\left(\left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) + \left(\left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) + \left(- \sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)\right)\right) + \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right) 
=
0
00 
producto
/    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
\- \/ 2  - I*\/ 2 /*\- \/ 2  + I*\/ 2 /*\\/ 2  - I*\/ 2 /*\\/ 2  + I*\/ 2 /
(−2−2i)(−2+2i)(2−2i)(2+2i)\left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) \left(- \sqrt{2} + \sqrt{2} i\right) \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right) 
=
16
1616 
16
Respuesta rápida [src] 
         ___       ___
x1 = - \/ 2  - I*\/ 2
x1=−2−2ix_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i 
         ___       ___
x2 = - \/ 2  + I*\/ 2
x2=−2+2ix_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i 
       ___       ___
x3 = \/ 2  - I*\/ 2
x3=2−2ix_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i 
       ___       ___
x4 = \/ 2  + I*\/ 2
x4=2+2ix_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i 
x4 = sqrt(2) + sqrt(2)*i
Respuesta numérica [src] 
x1 = 1.4142135623731 - 1.4142135623731*i
x2 = -1.4142135623731 + 1.4142135623731*i
x3 = -1.4142135623731 - 1.4142135623731*i
x4 = 1.4142135623731 + 1.4142135623731*i
x4 = 1.4142135623731 + 1.4142135623731*i
Gráfico
x^4+16=0 la ecuación
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