x^4+16=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$x^{4} + 16 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -16 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{4} = -16$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = -16$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$z_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$x_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$