Sr Examen

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cos(x/2)^(2)=3/2 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
   2/x\      
cos |-| = 3/2
    \2/
cos⁡2(x2)=32\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{3}{2}
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
cos⁡2(x2)=32\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{3}{2}
cambiamos
cos⁡(x)2−1=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} - 1 = 0
cos⁡2(x2)−32=0\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{3}{2} = 0
Sustituimos
w=cos⁡(x2)w = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
Tenemos la ecuación
cos⁡2(x2)−32=0\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{3}{2} = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 - contiene un número par 2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
(0w+cos⁡(x2))2=32\sqrt{\left(0 w + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}
(0w+cos⁡(x2))2=(−1)32\sqrt{\left(0 w + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}} = \left(-1\right) \sqrt{\frac{3}{2}}
o
cos⁡(x2)=62\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{6}}{2}
cos⁡(x2)=−62\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{\sqrt{6}}{2}
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
cosx/2 = sqrt(6)/2

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
cosx/2 = sqrt6/2

Esta ecuación no tiene soluciones
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
cosx/2 = -sqrt(6)/2

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
cosx/2 = -sqrt6/2

Esta ecuación no tiene soluciones
o

hacemos cambio inverso
cos⁡(x2)=w\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = w
Tenemos la ecuación
cos⁡(x2)=w\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = w
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x2=πn+acos⁡(w)\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}
x2=πn+acos⁡(w)−π\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi
O
x2=πn+acos⁡(w)\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}
x2=πn+acos⁡(w)−π\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
12\frac{1}{2}
sustituimos w:
Gráfica
0-80-60-40-2020406080-10010002
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Respuesta rápida [src] 
           /    /   ___ \\                /    /   ___ \\
           |    |-\/ 6  ||                |    |-\/ 6  ||
x1 = - 2*re|acos|-------|| + 4*pi - 2*I*im|acos|-------||
           \    \   2   //                \    \   2   //
x1=−2re⁡(acos⁡(−62))+4π−2iim⁡(acos⁡(−62))x_{1} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} + 4 \pi - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} 
                  /    /  ___\\
                  |    |\/ 6 ||
x2 = 4*pi - 2*I*im|acos|-----||
                  \    \  2  //
x2=4π−2iim⁡(acos⁡(62))x_{2} = 4 \pi - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} 
         /    /   ___ \\         /    /   ___ \\
         |    |-\/ 6  ||         |    |-\/ 6  ||
x3 = 2*re|acos|-------|| + 2*I*im|acos|-------||
         \    \   2   //         \    \   2   //
x3=2re⁡(acos⁡(−62))+2iim⁡(acos⁡(−62))x_{3} = 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} 
           /    /  ___\\
           |    |\/ 6 ||
x4 = 2*I*im|acos|-----||
           \    \  2  //
x4=2iim⁡(acos⁡(62))x_{4} = 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} 
x4 = 2*i*im(acos(sqrt(6)/2))
Suma y producto de raíces [src] 
suma
      /    /   ___ \\                /    /   ___ \\                /    /  ___\\       /    /   ___ \\         /    /   ___ \\         /    /  ___\\
      |    |-\/ 6  ||                |    |-\/ 6  ||                |    |\/ 6 ||       |    |-\/ 6  ||         |    |-\/ 6  ||         |    |\/ 6 ||
- 2*re|acos|-------|| + 4*pi - 2*I*im|acos|-------|| + 4*pi - 2*I*im|acos|-----|| + 2*re|acos|-------|| + 2*I*im|acos|-------|| + 2*I*im|acos|-----||
      \    \   2   //                \    \   2   //                \    \  2  //       \    \   2   //         \    \   2   //         \    \  2  //
((2re⁡(acos⁡(−62))+2iim⁡(acos⁡(−62)))+((4π−2iim⁡(acos⁡(62)))+(−2re⁡(acos⁡(−62))+4π−2iim⁡(acos⁡(−62)))))+2iim⁡(acos⁡(62))\left(\left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right) + \left(\left(4 \pi - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right) + \left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} + 4 \pi - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right)\right)\right) + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} 
=
8*pi
8π8 \pi 
producto
/      /    /   ___ \\                /    /   ___ \\\ /             /    /  ___\\\ /    /    /   ___ \\         /    /   ___ \\\       /    /  ___\\
|      |    |-\/ 6  ||                |    |-\/ 6  ||| |             |    |\/ 6 ||| |    |    |-\/ 6  ||         |    |-\/ 6  |||       |    |\/ 6 ||
|- 2*re|acos|-------|| + 4*pi - 2*I*im|acos|-------|||*|4*pi - 2*I*im|acos|-----|||*|2*re|acos|-------|| + 2*I*im|acos|-------|||*2*I*im|acos|-----||
\      \    \   2   //                \    \   2   /// \             \    \  2  /// \    \    \   2   //         \    \   2   ///       \    \  2  //
2iim⁡(acos⁡(62))(4π−2iim⁡(acos⁡(62)))(−2re⁡(acos⁡(−62))+4π−2iim⁡(acos⁡(−62)))(2re⁡(acos⁡(−62))+2iim⁡(acos⁡(−62)))2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} \left(4 \pi - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} + 4 \pi - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right) \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right) 
=
      /           /    /  ___\\\ /    /    /   ___ \\     /    /   ___ \\\ /            /    /   ___ \\     /    /   ___ \\\   /    /  ___\\
      |           |    |\/ 6 ||| |    |    |-\/ 6  ||     |    |-\/ 6  ||| |            |    |-\/ 6  ||     |    |-\/ 6  |||   |    |\/ 6 ||
-16*I*|2*pi - I*im|acos|-----|||*|I*im|acos|-------|| + re|acos|-------|||*|-2*pi + I*im|acos|-------|| + re|acos|-------|||*im|acos|-----||
      \           \    \  2  /// \    \    \   2   //     \    \   2   /// \            \    \   2   //     \    \   2   ///   \    \  2  //
−16i(2π−iim⁡(acos⁡(62)))(re⁡(acos⁡(−62))+iim⁡(acos⁡(−62)))(−2π+re⁡(acos⁡(−62))+iim⁡(acos⁡(−62)))im⁡(acos⁡(62))- 16 i \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right) \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} 
-16*i*(2*pi - i*im(acos(sqrt(6)/2)))*(i*im(acos(-sqrt(6)/2)) + re(acos(-sqrt(6)/2)))*(-2*pi + i*im(acos(-sqrt(6)/2)) + re(acos(-sqrt(6)/2)))*im(acos(sqrt(6)/2))
Respuesta numérica [src] 
x1 = 6.28318530717959 + 1.31695789692482*i
x2 = 12.5663706143592 - 1.31695789692482*i
x3 = 6.28318530717959 - 1.31695789692482*i
x4 = 1.31695789692482*i
x4 = 1.31695789692482*i
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