Sr Examen

Otras calculadoras

cos(x/2)^(2)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x/2)^(2)

Gráfico de la función y = cos(x/2)^(2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2/x\
f(x) = cos |-|
           \2/
f(x)=cos⁡2(x2)f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} 
f = cos(x/2)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡2(x2)=0\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Solución numérica
x1=−53.4070745963886x_{1} = -53.4070745963886
x2=−28.2743343914215x_{2} = -28.2743343914215
x3=−3.14159295109225x_{3} = -3.14159295109225
x4=−21.9911485864417x_{4} = -21.9911485864417
x5=−97.3893716284562x_{5} = -97.3893716284562
x6=−34.5575188899093x_{6} = -34.5575188899093
x7=−78.5398168194507x_{7} = -78.5398168194507
x8=9.42477826738203x_{8} = 9.42477826738203
x9=−59.6902599212271x_{9} = -59.6902599212271
x10=−34.5575196658297x_{10} = -34.5575196658297
x11=−72.2566311847166x_{11} = -72.2566311847166
x12=−91.106187265474x_{12} = -91.106187265474
x13=34.5575197055812x_{13} = 34.5575197055812
x14=28.2743338651796x_{14} = 28.2743338651796
x15=78.5398168562347x_{15} = 78.5398168562347
x16=−28.2743337069329x_{16} = -28.2743337069329
x17=−97.3893724533348x_{17} = -97.3893724533348
x18=72.2566315166773x_{18} = 72.2566315166773
x19=78.5398166181283x_{19} = 78.5398166181283
x20=−15.7079635641079x_{20} = -15.7079635641079
x21=−59.6902606928653x_{21} = -59.6902606928653
x22=53.407075424589x_{22} = 53.407075424589
x23=65.9734457529812x_{23} = 65.9734457529812
x24=−9.42477744529557x_{24} = -9.42477744529557
x25=−47.1238901083229x_{25} = -47.1238901083229
x26=−9.42477752082051x_{26} = -9.42477752082051
x27=−53.4070745786761x_{27} = -53.4070745786761
x28=9.42477748794163x_{28} = 9.42477748794163
x29=97.3893717959212x_{29} = 97.3893717959212
x30=97.389372581711x_{30} = 97.389372581711
x31=−72.2566315419804x_{31} = -72.2566315419804
x32=3.1415922548952x_{32} = 3.1415922548952
x33=91.1061865667532x_{33} = 91.1061865667532
x34=−40.8407040952604x_{34} = -40.8407040952604
x35=−65.9734457649277x_{35} = -65.9734457649277
x36=65.9734452390837x_{36} = 65.9734452390837
x37=59.6902599104079x_{37} = 59.6902599104079
x38=15.7079629803241x_{38} = 15.7079629803241
x39=−65.9734449870253x_{39} = -65.9734449870253
x40=72.2566310277176x_{40} = 72.2566310277176
x41=−28.2743340989896x_{41} = -28.2743340989896
x42=−78.5398160472843x_{42} = -78.5398160472843
x43=53.4070766553897x_{43} = 53.4070766553897
x44=−65.9734461969855x_{44} = -65.9734461969855
x45=28.2743343711514x_{45} = 28.2743343711514
x46=65.9734460390947x_{46} = 65.9734460390947
x47=34.5575190219169x_{47} = 34.5575190219169
x48=78.5398161804942x_{48} = 78.5398161804942
x49=−15.707962774825x_{49} = -15.707962774825
x50=−40.8407049290801x_{50} = -40.8407049290801
x51=−21.991148226056x_{51} = -21.991148226056
x52=21.9911485852059x_{52} = 21.9911485852059
x53=28.2743335663982x_{53} = 28.2743335663982
x54=−53.407075294995x_{54} = -53.407075294995
x55=−21.9911490521325x_{55} = -21.9911490521325
x56=21.9911489072506x_{56} = 21.9911489072506
x57=72.2566306985x_{57} = 72.2566306985
x58=40.8407049800347x_{58} = 40.8407049800347
x59=−72.2566308657983x_{59} = -72.2566308657983
x60=−97.3893717476911x_{60} = -97.3893717476911
x61=−84.8230020565447x_{61} = -84.8230020565447
x62=3.14159306054457x_{62} = 3.14159306054457
x63=−84.8230012511693x_{63} = -84.8230012511693
x64=91.1061873718352x_{64} = 91.1061873718352
x65=−47.1238893275319x_{65} = -47.1238893275319
x66=78.5398149750205x_{66} = 78.5398149750205
x67=21.9911480932338x_{67} = 21.9911480932338
x68=47.123889410773x_{68} = 47.123889410773
x69=−91.1061864815274x_{69} = -91.1061864815274
x70=−65.9734453607004x_{70} = -65.9734453607004
x71=−1127.83176318906x_{71} = -1127.83176318906
x72=59.6902600526626x_{72} = 59.6902600526626
x73=−40.8407049008781x_{73} = -40.8407049008781
x74=−9.4247781365785x_{74} = -9.4247781365785
x75=15.7079634518075x_{75} = 15.7079634518075
x76=53.4070746418597x_{76} = 53.4070746418597
x77=40.8407042062167x_{77} = 40.8407042062167
x78=40.8407045792514x_{78} = 40.8407045792514
x79=84.8230013636028x_{79} = 84.8230013636028
x80=59.6902606104322x_{80} = 59.6902606104322
x81=15.7079627593774x_{81} = 15.7079627593774
x82=84.8230021335997x_{82} = 84.8230021335997
x83=40.8407045848602x_{83} = 40.8407045848602
x84=47.1238902162437x_{84} = 47.1238902162437
x85=78.5398152766482x_{85} = 78.5398152766482
x86=−59.6902604578012x_{86} = -59.6902604578012
x87=15.707963957033x_{87} = 15.707963957033
x88=−15.7079632965989x_{88} = -15.7079632965989
x89=−3.14159217367683x_{89} = -3.14159217367683
x90=34.5575195449229x_{90} = 34.5575195449229
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x/2)^2.
cos⁡2(02)\cos^{2}{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x2)cos⁡(x2)=0- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−πx_{2} = - \pi
x3=πx_{3} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(-pi, 0)

(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=πx_{2} = \pi
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−π,0]∪[π,∞)\left[- \pi, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π]∪[0,π]\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡2(x2)−cos⁡2(x2)2=0\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡2(x2)=⟨0,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡2(x2)=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡2(x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡2(x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡2(x2)=cos⁡2(x2)\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
cos⁡2(x2)=−cos⁡2(x2)\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x/2)^(2)
    © Sr Examen – Калькулятор