Sr Examen

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cos(2*x)-sqrt(3)/2
Trazado el gráfico de la función/ cos(2*x)-sqrt(3)/2

Gráfico de la función y = cos(2*x)-sqrt(3)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    ___
                  \/ 3 
f(x) = cos(2*x) - -----
                    2
f(x)=cos⁡(2x)−32f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2} 
f = cos(2*x) - sqrt(3)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(2x)−32=0\cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π12x_{1} = \frac{\pi}{12}
x2=11π12x_{2} = \frac{11 \pi}{12}
Solución numérica
x1=−103.934356956262x_{1} = -103.934356956262
x2=50.0036830696375x_{2} = 50.0036830696375
x3=−93.9859802198946x_{3} = -93.9859802198946
x4=31.6777259236971x_{4} = 31.6777259236971
x5=9.68657734856853x_{5} = 9.68657734856853
x6=−15.9697626557481x_{6} = -15.9697626557481
x7=62.5700536839967x_{7} = 62.5700536839967
x8=−40.5789051088682x_{8} = -40.5789051088682
x9=−28.012534494509x_{9} = -28.012534494509
x10=68.8532389911763x_{10} = 68.8532389911763
x11=−18.5877565337396x_{11} = -18.5877565337396
x12=−6.02138591938044x_{12} = -6.02138591938044
x13=12.30457122656x_{13} = 12.30457122656
x14=24.8709418409192x_{14} = 24.8709418409192
x15=71.9948316447661x_{15} = 71.9948316447661
x16=−53.6688744988256x_{16} = -53.6688744988256
x17=81.9432083811338x_{17} = 81.9432083811338
x18=−232.739655753444x_{18} = -232.739655753444
x19=−56.2868683768171x_{19} = -56.2868683768171
x20=−100.269165527074x_{20} = -100.269165527074
x21=34.2957198016886x_{21} = 34.2957198016886
x22=−663.137849295245x_{22} = -663.137849295245
x23=2.87979326579064x_{23} = 2.87979326579064
x24=−87.7027949127151x_{24} = -87.7027949127151
x25=−78.2780169519457x_{25} = -78.2780169519457
x26=−19.1113553093379x_{26} = -19.1113553093379
x27=97.6511716490827x_{27} = 97.6511716490827
x28=−81.9432083811338x_{28} = -81.9432083811338
x29=100.269165527074x_{29} = 100.269165527074
x30=59.9520598060052x_{30} = 59.9520598060052
x31=53.6688744988256x_{31} = 53.6688744988256
x32=44.2440965380563x_{32} = 44.2440965380563
x33=−85.0848010347236x_{33} = -85.0848010347236
x34=18.5877565337396x_{34} = 18.5877565337396
x35=132.20869083857x_{35} = 132.20869083857
x36=93.9859802198946x_{36} = 93.9859802198946
x37=−59.9520598060052x_{37} = -59.9520598060052
x38=−47.3856891916461x_{38} = -47.3856891916461
x39=6.02138591938044x_{39} = 6.02138591938044
x40=15.9697626557481x_{40} = 15.9697626557481
x41=90.8443875663049x_{41} = 90.8443875663049
x42=−97.6511716490827x_{42} = -97.6511716490827
x43=−21.7293491873294x_{43} = -21.7293491873294
x44=69.3768377667746x_{44} = 69.3768377667746
x45=46.8620904160477x_{45} = 46.8620904160477
x46=22.2529479629277x_{46} = 22.2529479629277
x47=66.2352451131848x_{47} = 66.2352451131848
x48=25.3945406165175x_{48} = 25.3945406165175
x49=−62.5700536839967x_{49} = -62.5700536839967
x50=40.5789051088682x_{50} = 40.5789051088682
x51=84.5612022591253x_{51} = 84.5612022591253
x52=−65.7116463375865x_{52} = -65.7116463375865
x53=−75.6600230739542x_{53} = -75.6600230739542
x54=−34.2957198016886x_{54} = -34.2957198016886
x55=56.2868683768171x_{55} = 56.2868683768171
x56=91.3679863419031x_{56} = 91.3679863419031
x57=−71.9948316447661x_{57} = -71.9948316447661
x58=−9.68657734856853x_{58} = -9.68657734856853
x59=47.3856891916461x_{59} = 47.3856891916461
x60=−84.5612022591253x_{60} = -84.5612022591253
x61=−3.40339204138894x_{61} = -3.40339204138894
x62=−41.1025038844665x_{62} = -41.1025038844665
x63=−12.30457122656x_{63} = -12.30457122656
x64=−25.3945406165175x_{64} = -25.3945406165175
x65=−69.3768377667746x_{65} = -69.3768377667746
x66=−63.093652459595x_{66} = -63.093652459595
x67=75.6600230739542x_{67} = 75.6600230739542
x68=−31.6777259236971x_{68} = -31.6777259236971
x69=78.2780169519457x_{69} = 78.2780169519457
x70=−43.720497762458x_{70} = -43.720497762458
x71=−37.9609112308767x_{71} = -37.9609112308767
x72=88.2263936883134x_{72} = 88.2263936883134
x73=28.012534494509x_{73} = 28.012534494509
x74=−50.0036830696375x_{74} = -50.0036830696375
x75=0.261799387799149x_{75} = 0.261799387799149
x76=37.9609112308767x_{76} = 37.9609112308767
x77=138.49187614575x_{77} = 138.49187614575
x78=3.40339204138894x_{78} = 3.40339204138894
x79=−91.3679863419031x_{79} = -91.3679863419031
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2*x) - sqrt(3)/2.
−32+cos⁡(0⋅2)- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=1−32f{\left(0 \right)} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, 1 - sqrt(3)/2)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4cos⁡(2x)=0- 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π4,3π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(2x)−32)=⟨−1,1⟩−32\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle - \frac{\sqrt{3}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩−32y = \left\langle -1, 1\right\rangle - \frac{\sqrt{3}}{2}
lim⁡x→∞(cos⁡(2x)−32)=⟨−1,1⟩−32\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle - \frac{\sqrt{3}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩−32y = \left\langle -1, 1\right\rangle - \frac{\sqrt{3}}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x) - sqrt(3)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(2x)−32x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(2x)−32x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(2x)−32=cos⁡(2x)−32\cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2}
- Sí
cos⁡(2x)−32=−cos⁡(2x)+32\cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2} = - \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sqrt{3}}{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(2*x)-sqrt(3)/2
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