Sr Examen

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cos(3*x)+sin(3*x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(3*x)+sin(3*x)

Gráfico de la función y = cos(3*x)+sin(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(3*x) + sin(3*x)
f(x)=sin⁡(3x)+cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} 
f = sin(3*x) + cos(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)=0\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π12x_{1} = - \frac{\pi}{12}
Solución numérica
x1=−55.7632696012188x_{1} = -55.7632696012188
x2=−64.1408500107916x_{2} = -64.1408500107916
x3=1.83259571459405x_{3} = 1.83259571459405
x4=50.0036830696375x_{4} = 50.0036830696375
x5=21.7293491873294x_{5} = 21.7293491873294
x6=−11.7809724509617x_{6} = -11.7809724509617
x7=−51.5744793964324x_{7} = -51.5744793964324
x8=25.9181393921158x_{8} = 25.9181393921158
x9=−40.0553063332699x_{9} = -40.0553063332699
x10=−29.5833308213039x_{10} = -29.5833308213039
x11=−15.9697626557481x_{11} = -15.9697626557481
x12=−427.518400276011x_{12} = -427.518400276011
x13=−49.4800842940392x_{13} = -49.4800842940392
x14=43.720497762458x_{14} = 43.720497762458
x15=76.1836218495525x_{15} = 76.1836218495525
x16=69.9004365423729x_{16} = 69.9004365423729
x17=12.30457122656x_{17} = 12.30457122656
x18=87.7027949127151x_{18} = 87.7027949127151
x19=−88.2263936883134x_{19} = -88.2263936883134
x20=−95.5567765466895x_{20} = -95.5567765466895
x21=−7.59218224617533x_{21} = -7.59218224617533
x22=80.3724120543389x_{22} = 80.3724120543389
x23=71.9948316447661x_{23} = 71.9948316447661
x24=38.484510006475x_{24} = 38.484510006475
x25=−53.6688744988256x_{25} = -53.6688744988256
x26=32.2013246992954x_{26} = 32.2013246992954
x27=98.174770424681x_{27} = 98.174770424681
x28=34.2957198016886x_{28} = 34.2957198016886
x29=30.1069295969022x_{29} = 30.1069295969022
x30=−86.1319985859202x_{30} = -86.1319985859202
x31=−79.8488132787406x_{31} = -79.8488132787406
x32=−23.3001455141243x_{32} = -23.3001455141243
x33=41.6261026600648x_{33} = 41.6261026600648
x34=91.8915851175014x_{34} = 91.8915851175014
x35=16.4933614313464x_{35} = 16.4933614313464
x36=−13.8753675533549x_{36} = -13.8753675533549
x37=−44.2440965380563x_{37} = -44.2440965380563
x38=−81.9432083811338x_{38} = -81.9432083811338
x39=100.269165527074x_{39} = 100.269165527074
x40=8.11578102177363x_{40} = 8.11578102177363
x41=−35.8665161284835x_{41} = -35.8665161284835
x42=74.0892267471593x_{42} = 74.0892267471593
x43=63.6172512351933x_{43} = 63.6172512351933
x44=54.1924732744239x_{44} = 54.1924732744239
x45=18.5877565337396x_{45} = 18.5877565337396
x46=−57.857664703612x_{46} = -57.857664703612
x47=67.8060414399797x_{47} = 67.8060414399797
x48=93.9859802198946x_{48} = 93.9859802198946
x49=−84.037603483527x_{49} = -84.037603483527
x50=−59.9520598060052x_{50} = -59.9520598060052
x51=6.02138591938044x_{51} = 6.02138591938044
x52=−93.4623814442964x_{52} = -93.4623814442964
x53=−97.6511716490827x_{53} = -97.6511716490827
x54=47.9092879672443x_{54} = 47.9092879672443
x55=−5.49778714378214x_{55} = -5.49778714378214
x56=58.3812634792103x_{56} = 58.3812634792103
x57=−73.565627971561x_{57} = -73.565627971561
x58=65.7116463375865x_{58} = 65.7116463375865
x59=−42.1497014356631x_{59} = -42.1497014356631
x60=36.3901149040818x_{60} = 36.3901149040818
x61=−75.6600230739542x_{61} = -75.6600230739542
x62=−62.0464549083984x_{62} = -62.0464549083984
x63=−22.2529479629277x_{63} = -22.2529479629277
x64=−71.4712328691678x_{64} = -71.4712328691678
x65=52.0980781720307x_{65} = 52.0980781720307
x66=60.4756585816035x_{66} = 60.4756585816035
x67=56.2868683768171x_{67} = 56.2868683768171
x68=−33.7721210260903x_{68} = -33.7721210260903
x69=−0.261799387799149x_{69} = -0.261799387799149
x70=−46.3384916404494x_{70} = -46.3384916404494
x71=−9.68657734856853x_{71} = -9.68657734856853
x72=−18.0641577581413x_{72} = -18.0641577581413
x73=−27.4889357189107x_{73} = -27.4889357189107
x74=23.8237442897226x_{74} = 23.8237442897226
x75=−711.308936650289x_{75} = -711.308936650289
x76=96.0803753222878x_{76} = 96.0803753222878
x77=3.92699081698724x_{77} = 3.92699081698724
x78=45.8148928648512x_{78} = 45.8148928648512
x79=−99.7455667514759x_{79} = -99.7455667514759
x80=82.4668071567321x_{80} = 82.4668071567321
x81=−69.3768377667746x_{81} = -69.3768377667746
x82=10.2101761241668x_{82} = 10.2101761241668
x83=−66.2352451131848x_{83} = -66.2352451131848
x84=14.3989663289532x_{84} = 14.3989663289532
x85=78.2780169519457x_{85} = 78.2780169519457
x86=−31.6777259236971x_{86} = -31.6777259236971
x87=−37.9609112308767x_{87} = -37.9609112308767
x88=−77.7544181763474x_{88} = -77.7544181763474
x89=28.012534494509x_{89} = 28.012534494509
x90=−20.1585528605345x_{90} = -20.1585528605345
x91=89.7971900151083x_{91} = 89.7971900151083
x92=−91.3679863419031x_{92} = -91.3679863419031
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(3*x) + sin(3*x).
sin⁡(0⋅3)+cos⁡(0⋅3)\sin{\left(0 \cdot 3 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(3x)+3cos⁡(3x)=0- 3 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π12x_{1} = \frac{\pi}{12}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    ___ 
(--, \/ 2 )
 12


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π12x_{1} = \frac{\pi}{12}
Decrece en los intervalos
(−∞,π12]\left(-\infty, \frac{\pi}{12}\right]
Crece en los intervalos
[π12,∞)\left[\frac{\pi}{12}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−9(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))=0- 9 \left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π12x_{1} = - \frac{\pi}{12}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π12]\left(-\infty, - \frac{\pi}{12}\right]
Convexa en los intervalos
[−π12,∞)\left[- \frac{\pi}{12}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(3*x) + sin(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(3x)+cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(3x)+cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)=−sin⁡(3x)+cos⁡(3x)\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = - \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}
- No
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)=sin⁡(3x)−cos⁡(3x)\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(3*x)+sin(3*x)
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