Sr Examen

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sin(x^(3)+x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x^(3)+x)

Gráfico de la función y = sin(x^(3)+x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 3    \
f(x) = sin\x  + x/
f(x)=sin⁡(x3+x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{3} + x \right)} 
f = sin(x^3 + x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x^3 + x).
sin⁡(03)\sin{\left(0^{3} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(3x2+1)cos⁡(x3+x)=0\left(3 x^{2} + 1\right) \cos{\left(x^{3} + x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=63(−263+(9π+316+27π2)23)69π+316+27π23x_{1} = \frac{\sqrt[3]{6} \left(- 2 \sqrt[3]{6} + \left(9 \pi + \sqrt{3} \sqrt{16 + 27 \pi^{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{6 \sqrt[3]{9 \pi + \sqrt{3} \sqrt{16 + 27 \pi^{2}}}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                          /                                              3                                                       \ 
       /                               2/3          \     |/                               2/3          \          /                               2/3          \| 
       |/                _____________\             |     ||/                _____________\             |          |/                _____________\             || 
 3 ___ ||         ___   /           2 |        3 ___|     |||         ___   /           2 |        3 ___|    3 ___ ||         ___   /           2 |        3 ___|| 
 \/ 6 *\\9*pi + \/ 3 *\/  16 + 27*pi  /    - 2*\/ 6 /     |\\9*pi + \/ 3 *\/  16 + 27*pi  /    - 2*\/ 6 /    \/ 6 *\\9*pi + \/ 3 *\/  16 + 27*pi  /    - 2*\/ 6 /| 
(----------------------------------------------------, sin|----------------------------------------------- + ----------------------------------------------------|)
              _______________________________             |          /                _____________\                      _______________________________        | 
             /                 _____________              |          |         ___   /           2 |                     /                 _____________         | 
          3 /           ___   /           2               |       36*\9*pi + \/ 3 *\/  16 + 27*pi  /                  3 /           ___   /           2          | 
        6*\/   9*pi + \/ 3 *\/  16 + 27*pi                \                                                         6*\/   9*pi + \/ 3 *\/  16 + 27*pi           /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=63(−263+(9π+316+27π2)23)69π+316+27π23x_{1} = \frac{\sqrt[3]{6} \left(- 2 \sqrt[3]{6} + \left(9 \pi + \sqrt{3} \sqrt{16 + 27 \pi^{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{6 \sqrt[3]{9 \pi + \sqrt{3} \sqrt{16 + 27 \pi^{2}}}}
Decrece en los intervalos
(−∞,63(−263+(9π+316+27π2)23)69π+316+27π23]\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{6} \left(- 2 \sqrt[3]{6} + \left(9 \pi + \sqrt{3} \sqrt{16 + 27 \pi^{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{6 \sqrt[3]{9 \pi + \sqrt{3} \sqrt{16 + 27 \pi^{2}}}}\right]
Crece en los intervalos
[63(−263+(9π+316+27π2)23)69π+316+27π23,∞)\left[\frac{\sqrt[3]{6} \left(- 2 \sqrt[3]{6} + \left(9 \pi + \sqrt{3} \sqrt{16 + 27 \pi^{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{6 \sqrt[3]{9 \pi + \sqrt{3} \sqrt{16 + 27 \pi^{2}}}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6xcos⁡(x(x2+1))−(3x2+1)2sin⁡(x(x2+1))=06 x \cos{\left(x \left(x^{2} + 1\right) \right)} - \left(3 x^{2} + 1\right)^{2} \sin{\left(x \left(x^{2} + 1\right) \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=14.0058722170561x_{1} = 14.0058722170561
x2=−1.67725148117134x_{2} = -1.67725148117134
x3=−7.84193870174578x_{3} = -7.84193870174578
x4=0x_{4} = 0
x5=−79.768941161982x_{5} = -79.768941161982
x6=74.5501843553776x_{6} = 74.5501843553776
x7=17.8695427759289x_{7} = 17.8695427759289
x8=63.2607663991129x_{8} = 63.2607663991129
x9=8.10411345651372x_{9} = 8.10411345651372
x10=40.244823534568x_{10} = 40.244823534568
x11=−44.9299277954215x_{11} = -44.9299277954215
x12=4.98430062939306x_{12} = 4.98430062939306
x13=−37.7758063179668x_{13} = -37.7758063179668
x14=78.0171351048189x_{14} = 78.0171351048189
x15=55.5186987186848x_{15} = 55.5186987186848
x16=−2.68415393048222x_{16} = -2.68415393048222
x17=40.6632225092992x_{17} = 40.6632225092992
x18=−1.2768985076185x_{18} = -1.2768985076185
x19=−41.8736050830931x_{19} = -41.8736050830931
x20=−13.4686186653589x_{20} = -13.4686186653589
x21=6.4131750095093x_{21} = 6.4131750095093
x22=86.1726273851707x_{22} = 86.1726273851707
x23=−3.82309502682401x_{23} = -3.82309502682401
x24=60.3929821484389x_{24} = 60.3929821484389
x25=−66.8597103491631x_{25} = -66.8597103491631
x26=41.6713992237029x_{26} = 41.6713992237029
x27=2.18535528542746x_{27} = 2.18535528542746
x28=32.2288280195044x_{28} = 32.2288280195044
x29=32.6132596790633x_{29} = 32.6132596790633
x30=5.70758283166328x_{30} = 5.70758283166328
x31=25.0558916496553x_{31} = 25.0558916496553
x32=−69.1497547040517x_{32} = -69.1497547040517
x33=−3.75176680419607x_{33} = -3.75176680419607
x34=−57.5031679937362x_{34} = -57.5031679937362
x35=88.8860392665965x_{35} = 88.8860392665965
x36=−10.0674624483821x_{36} = -10.0674624483821
x37=−51.7003154890352x_{37} = -51.7003154890352
x38=−7.85883930590708x_{38} = -7.85883930590708
x39=−71.9635326136044x_{39} = -71.9635326136044
x40=−21.7808185173987x_{40} = -21.7808185173987
x41=94.089979435151x_{41} = 94.089979435151
x42=−43.9767786981031x_{42} = -43.9767786981031
x43=58.165573941328x_{43} = 58.165573941328
x44=12.1373018669707x_{44} = 12.1373018669707
x45=−27.3558456675408x_{45} = -27.3558456675408
x46=−11.6729736251315x_{46} = -11.6729736251315
x47=15.8769469635391x_{47} = 15.8769469635391
x48=30.1563034565169x_{48} = 30.1563034565169
x49=−19.9347972569764x_{49} = -19.9347972569764
x50=−3.52010936241866x_{50} = -3.52010936241866
x51=38.1750895990569x_{51} = 38.1750895990569
x52=−71.3474348819629x_{52} = -71.3474348819629

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[94.089979435151,∞)\left[94.089979435151, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−71.9635326136044]\left(-\infty, -71.9635326136044\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x3+x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x^{3} + x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x3+x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x^{3} + x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x^3 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x3+x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{3} + x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x3+x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{3} + x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x3+x)=−sin⁡(x3+x)\sin{\left(x^{3} + x \right)} = - \sin{\left(x^{3} + x \right)}
- No
sin⁡(x3+x)=sin⁡(x3+x)\sin{\left(x^{3} + x \right)} = \sin{\left(x^{3} + x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x^(3)+x)
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