Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
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- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^2-1)
-
x^3/(3-x^2)
-
e^x/x
-
(x-1)/(x+2)
-
Expresiones idénticas
- sin^ cuatro (x)+cos^ cuatro (x)
- seno de en el grado 4(x) más coseno de en el grado 4(x)
- seno de en el grado cuatro (x) más coseno de en el grado cuatro (x)
- sin4(x)+cos4(x)
- sin4x+cos4x
- sin⁴(x)+cos⁴(x)
- sin^4x+cos^4x
-
Expresiones semejantes
- sin^4(x)-cos^4(x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)/2
- sin(x)+sin(2*x)+sin(3*x)
- sin(x-1)
- sin6x+2cos3x
- sin(x)^2/x^2
- Coseno cos
- cosx-x
- cos(x),x
- cos(x)+exp(x)+exp(-x)+sin(x)
- cos(3x)+3cos(x)
- cos(x-pi/6)
Gráfico de la función y = sin^4(x)+cos^4(x)
Solución
Ha introducido
[src]
4 4 f(x) = sin (x) + cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^4 + cos(x)^4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
-3*pi (-----, 1/2) 4
-pi (----, 1) 2
-pi (----, 1/2) 4
pi (--, 1/2) 4
pi (--, 1) 2
3*pi (----, 1/2) 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(- \sin^{4}{\left(x \right)} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{7} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(- \sin^{4}{\left(x \right)} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{7} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- Sí
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)} - \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- Sí
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)} - \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico