Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
-3*pi
(-----, 1/2)
4
-pi
(----, 1)
2
-pi
(----, 1/2)
4
pi
(--, 1/2)
4
pi
(--, 1)
2
3*pi
(----, 1/2)
4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$