Sr Examen

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sin(x-2)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x-2)

Gráfico de la función y = sin(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x - 2)
f(x)=sin⁡(x−2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x - 2 \right)} 
f = sin(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x−2)=0\sin{\left(x - 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
x2=2+πx_{2} = 2 + \pi
Solución numérica
x1=55.4070751110265x_{1} = 55.4070751110265
x2=−85.9645943005142x_{2} = -85.9645943005142
x3=−45.1238898038469x_{3} = -45.1238898038469
x4=−19.9911485751286x_{4} = -19.9911485751286
x5=30.2743338823081x_{5} = 30.2743338823081
x6=71.1150383789755x_{6} = 71.1150383789755
x7=27.1327412287183x_{7} = 27.1327412287183
x8=−89.106186954104x_{8} = -89.106186954104
x9=33.4159265358979x_{9} = 33.4159265358979
x10=−32.5575191894877x_{10} = -32.5575191894877
x11=42.8407044966673x_{11} = 42.8407044966673
x12=36.5575191894877x_{12} = 36.5575191894877
x13=14.5663706143592x_{13} = 14.5663706143592
x14=−16.8495559215388x_{14} = -16.8495559215388
x15=−7.42477796076938x_{15} = -7.42477796076938
x16=39.6991118430775x_{16} = 39.6991118430775
x17=5.14159265358979x_{17} = 5.14159265358979
x18=−79.6814089933346x_{18} = -79.6814089933346
x19=77.398223686155x_{19} = 77.398223686155
x20=−38.8407044966673x_{20} = -38.8407044966673
x21=−48.2654824574367x_{21} = -48.2654824574367
x22=17.707963267949x_{22} = 17.707963267949
x23=−13.707963267949x_{23} = -13.707963267949
x24=67.9734457253857x_{24} = 67.9734457253857
x25=86.8230016469244x_{25} = 86.8230016469244
x26=−60.8318530717959x_{26} = -60.8318530717959
x27=−265.035375555132x_{27} = -265.035375555132
x28=11.4247779607694x_{28} = 11.4247779607694
x29=8.28318530717959x_{29} = 8.28318530717959
x30=−41.9822971502571x_{30} = -41.9822971502571
x31=−29.4159265358979x_{31} = -29.4159265358979
x32=−92.2477796076938x_{32} = -92.2477796076938
x33=74.2566310325652x_{33} = 74.2566310325652
x34=−98.5309649148734x_{34} = -98.5309649148734
x35=61.6902604182061x_{35} = 61.6902604182061
x36=−35.6991118430775x_{36} = -35.6991118430775
x37=−2640.07942166902x_{37} = -2640.07942166902
x38=20.8495559215388x_{38} = 20.8495559215388
x39=−73.398223686155x_{39} = -73.398223686155
x40=99.3893722612836x_{40} = 99.3893722612836
x41=83.6814089933346x_{41} = 83.6814089933346
x42=−10.5663706143592x_{42} = -10.5663706143592
x43=80.5398163397448x_{43} = 80.5398163397448
x44=−51.4070751110265x_{44} = -51.4070751110265
x45=58.5486677646163x_{45} = 58.5486677646163
x46=−23.1327412287183x_{46} = -23.1327412287183
x47=−63.9734457253857x_{47} = -63.9734457253857
x48=23.9911485751286x_{48} = 23.9911485751286
x49=−67.1150383789755x_{49} = -67.1150383789755
x50=45.9822971502571x_{50} = 45.9822971502571
x51=52.2654824574367x_{51} = 52.2654824574367
x52=−1.14159265358979x_{52} = -1.14159265358979
x53=−54.5486677646163x_{53} = -54.5486677646163
x54=89.9645943005142x_{54} = 89.9645943005142
x55=−70.2566310325652x_{55} = -70.2566310325652
x56=−230.477856365645x_{56} = -230.477856365645
x57=96.2477796076938x_{57} = 96.2477796076938
x58=−4.28318530717959x_{58} = -4.28318530717959
x59=2x_{59} = 2
x60=93.106186954104x_{60} = 93.106186954104
x61=−26.2743338823081x_{61} = -26.2743338823081
x62=−76.5398163397448x_{62} = -76.5398163397448
x63=−111.097335529233x_{63} = -111.097335529233
x64=−82.8230016469244x_{64} = -82.8230016469244
x65=64.8318530717959x_{65} = 64.8318530717959
x66=−95.3893722612836x_{66} = -95.3893722612836
x67=49.1238898038469x_{67} = 49.1238898038469
x68=−57.6902604182061x_{68} = -57.6902604182061
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x - 2).
sin⁡(−2)\sin{\left(-2 \right)}
Resultado:
f(0)=−sin⁡(2)f{\left(0 \right)} = - \sin{\left(2 \right)}
Punto:
(0, -sin(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x−2)=0\cos{\left(x - 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2+3π2x_{1} = 2 + \frac{3 \pi}{2}
x2=π2+2x_{2} = \frac{\pi}{2} + 2
Signos de extremos en los puntos:
     3*pi     
(2 + ----, -1)
      2       

     pi    
(2 + --, 1)
     2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2+3π2x_{1} = 2 + \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2+2x_{1} = \frac{\pi}{2} + 2
Decrece en los intervalos
(−∞,π2+2]∪[2+3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2} + 2\right] \cup \left[2 + \frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2+2,2+3π2]\left[\frac{\pi}{2} + 2, 2 + \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x−2)=0- \sin{\left(x - 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
x2=2+πx_{2} = 2 + \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2]∪[2+π,∞)\left(-\infty, 2\right] \cup \left[2 + \pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[2,2+π]\left[2, 2 + \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x−2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x - 2 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x−2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x - 2 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x−2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x−2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x-2)
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