Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(-x+3)

Gráfico de la función y = sin(-x+3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(-x + 3)
f(x)=sin⁡(3−x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 - x \right)} 
f = sin(3 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(3−x)=0\sin{\left(3 - x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
x2=3+πx_{2} = 3 + \pi
Solución numérica
x1=100.389372261284x_{1} = 100.389372261284
x2=24.9911485751286x_{2} = 24.9911485751286
x3=37.5575191894877x_{3} = 37.5575191894877
x4=78.398223686155x_{4} = 78.398223686155
x5=46.9822971502571x_{5} = 46.9822971502571
x6=56.4070751110265x_{6} = 56.4070751110265
x7=81.5398163397448x_{7} = 81.5398163397448
x8=−88.106186954104x_{8} = -88.106186954104
x9=43.8407044966673x_{9} = 43.8407044966673
x10=−50.4070751110265x_{10} = -50.4070751110265
x11=−18.9911485751286x_{11} = -18.9911485751286
x12=−47.2654824574367x_{12} = -47.2654824574367
x13=−62.9734457253857x_{13} = -62.9734457253857
x14=−78.6814089933346x_{14} = -78.6814089933346
x15=72.1150383789755x_{15} = 72.1150383789755
x16=9.28318530717959x_{16} = 9.28318530717959
x17=65.8318530717959x_{17} = 65.8318530717959
x18=−28.4159265358979x_{18} = -28.4159265358979
x19=−6.42477796076938x_{19} = -6.42477796076938
x20=−40.9822971502571x_{20} = -40.9822971502571
x21=−549.920307031804x_{21} = -549.920307031804
x22=−56.6902604182061x_{22} = -56.6902604182061
x23=31.2743338823081x_{23} = 31.2743338823081
x24=−59.8318530717959x_{24} = -59.8318530717959
x25=−0.141592653589793x_{25} = -0.141592653589793
x26=−22.1327412287183x_{26} = -22.1327412287183
x27=−91.2477796076938x_{27} = -91.2477796076938
x28=−122.663706143592x_{28} = -122.663706143592
x29=6.14159265358979x_{29} = 6.14159265358979
x30=18.707963267949x_{30} = 18.707963267949
x31=−100.672557568463x_{31} = -100.672557568463
x32=62.6902604182061x_{32} = 62.6902604182061
x33=3x_{33} = 3
x34=−3.28318530717959x_{34} = -3.28318530717959
x35=−37.8407044966673x_{35} = -37.8407044966673
x36=75.2566310325652x_{36} = 75.2566310325652
x37=−66.1150383789755x_{37} = -66.1150383789755
x38=84.6814089933346x_{38} = 84.6814089933346
x39=−69.2566310325652x_{39} = -69.2566310325652
x40=59.5486677646163x_{40} = 59.5486677646163
x41=1231.36272755361x_{41} = 1231.36272755361
x42=−15.8495559215388x_{42} = -15.8495559215388
x43=−44.1238898038469x_{43} = -44.1238898038469
x44=94.106186954104x_{44} = 94.106186954104
x45=68.9734457253857x_{45} = 68.9734457253857
x46=−12.707963267949x_{46} = -12.707963267949
x47=21.8495559215388x_{47} = 21.8495559215388
x48=−113.238928182822x_{48} = -113.238928182822
x49=−31.5575191894877x_{49} = -31.5575191894877
x50=−84.9645943005142x_{50} = -84.9645943005142
x51=−34.6991118430775x_{51} = -34.6991118430775
x52=40.6991118430775x_{52} = 40.6991118430775
x53=−53.5486677646163x_{53} = -53.5486677646163
x54=−75.5398163397448x_{54} = -75.5398163397448
x55=−94.3893722612836x_{55} = -94.3893722612836
x56=−9.56637061435917x_{56} = -9.56637061435917
x57=90.9645943005142x_{57} = 90.9645943005142
x58=−81.8230016469244x_{58} = -81.8230016469244
x59=−72.398223686155x_{59} = -72.398223686155
x60=87.8230016469244x_{60} = 87.8230016469244
x61=34.4159265358979x_{61} = 34.4159265358979
x62=28.1327412287183x_{62} = 28.1327412287183
x63=97.2477796076938x_{63} = 97.2477796076938
x64=50.1238898038469x_{64} = 50.1238898038469
x65=53.2654824574367x_{65} = 53.2654824574367
x66=−25.2743338823081x_{66} = -25.2743338823081
x67=15.5663706143592x_{67} = 15.5663706143592
x68=−97.5309649148734x_{68} = -97.5309649148734
x69=12.4247779607694x_{69} = 12.4247779607694
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(-x + 3).
sin⁡(3−0)\sin{\left(3 - 0 \right)}
Resultado:
f(0)=sin⁡(3)f{\left(0 \right)} = \sin{\left(3 \right)}
Punto:
(0, sin(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cos⁡(x−3)=0- \cos{\left(x - 3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3+3π2x_{1} = 3 + \frac{3 \pi}{2}
x2=π2+3x_{2} = \frac{\pi}{2} + 3
Signos de extremos en los puntos:
     3*pi    
(3 + ----, 1)
      2      

     pi     
(3 + --, -1)
     2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2+3x_{1} = \frac{\pi}{2} + 3
Puntos máximos de la función:
x1=3+3π2x_{1} = 3 + \frac{3 \pi}{2}
Decrece en los intervalos
[π2+3,3+3π2]\left[\frac{\pi}{2} + 3, 3 + \frac{3 \pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π2+3]∪[3+3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2} + 3\right] \cup \left[3 + \frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x−3)=0\sin{\left(x - 3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3
x2=3+πx_{2} = 3 + \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3,3+π]\left[3, 3 + \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,3]∪[3+π,∞)\left(-\infty, 3\right] \cup \left[3 + \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(3−x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(3 - x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(3−x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(3 - x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(-x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(3−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(3 - x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(3−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(3 - x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(3−x)=sin⁡(x+3)\sin{\left(3 - x \right)} = \sin{\left(x + 3 \right)}
- No
sin⁡(3−x)=−sin⁡(x+3)\sin{\left(3 - x \right)} = - \sin{\left(x + 3 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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