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sin(log(x))/x
Trazado el gráfico de la función/ sin(log(x))/x

Gráfico de la función y = sin(log(x))/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(log(x))
f(x) = -----------
            x
f(x)=sin⁡(log⁡(x))xf{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} 
f = sin(log(x))/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-10
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(log⁡(x))x=0\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=eπx_{2} = e^{\pi}
Solución numérica
x1=12391.6478079167x_{1} = 12391.6478079167
x2=535.491655524765x_{2} = 535.491655524765
x3=23.1406926327793x_{3} = 23.1406926327793
x4=286751.313136653x_{4} = 286751.313136653
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(log(x))/x.
sin⁡(log⁡(0))0\frac{\sin{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(log⁡(x))x2+cos⁡(log⁡(x))x2=0- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eπ4x_{1} = e^{\frac{\pi}{4}}
Signos de extremos en los puntos:
             -pi  
  pi         ---- 
  --    ___   4   
  4   \/ 2 *e     
(e , -----------)
           2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=eπ4x_{1} = e^{\frac{\pi}{4}}
Decrece en los intervalos
(−∞,eπ4]\left(-\infty, e^{\frac{\pi}{4}}\right]
Crece en los intervalos
[eπ4,∞)\left[e^{\frac{\pi}{4}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(log⁡(x))−3cos⁡(log⁡(x))x3=0\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 3 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eatan⁡(3)x_{1} = e^{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(sin⁡(log⁡(x))−3cos⁡(log⁡(x))x3)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 3 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→0+(sin⁡(log⁡(x))−3cos⁡(log⁡(x))x3)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 3 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[eatan⁡(3),∞)\left[e^{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,eatan⁡(3)]\left(-\infty, e^{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(log⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(sin⁡(log⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(log(x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(log⁡(x))x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(log⁡(x))x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(log⁡(x))x=−sin⁡(log⁡(−x))x\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = - \frac{\sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}}{x}
- No
sin⁡(log⁡(x))x=sin⁡(log⁡(−x))x\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = \frac{\sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(log(x))/x
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