Sr Examen

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log(sin(3*x))
Trazado el gráfico de la función/ log(sin(3*x))

Gráfico de la función y = log(sin(3*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(sin(3*x))
f(x)=log⁡(sin⁡(3x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} 
f = log(sin(3*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(sin⁡(3x))=0\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Solución numérica
x1=−79.0634150833848x_{1} = -79.0634150833848
x2=−60.2138589919807x_{2} = -60.2138589919807
x3=88.4881928998348x_{3} = 88.4881928998348
x4=−74.8746248673947x_{4} = -74.8746248673947
x5=71.7330325628745x_{5} = 71.7330325628745
x6=90.582587870936x_{6} = 90.582587870936
x7=2.61799350657573x_{7} = 2.61799350657573
x8=10.9955743815506x_{8} = 10.9955743815506
x9=40.3171056756269x_{9} = 40.3171056756269
x10=75.9218225343885x_{10} = 75.9218225343885
x11=25.6563404481204x_{11} = 25.6563404481204
x12=−45.5530936139552x_{12} = -45.5530936139552
x13=13.0899695565268x_{13} = 13.0899695565268
x14=61.2610563554495x_{14} = 61.2610563554495
x15=−9.94837684179617x_{15} = -9.94837684179617
x16=80.1106129841105x_{16} = 80.1106129841105
x17=−14.1371668195954x_{17} = -14.1371668195954
x18=−12.0427717957865x_{18} = -12.0427717957865
x19=−74.8746247915013x_{19} = -74.8746247915013
x20=−30.8923276098518x_{20} = -30.8923276098518
x21=69.63863762184x_{21} = 69.63863762184
x22=−95.8185758675978x_{22} = -95.8185758675978
x23=−53.9306741134037x_{23} = -53.9306741134037
x24=29.8451303466102x_{24} = 29.8451303466102
x25=−43.458698624126x_{25} = -43.458698624126
x26=78.0162175423989x_{26} = 78.0162175423989
x27=−85.3466008748057x_{27} = -85.3466008748057
x28=−30.8923276647958x_{28} = -30.8923276647958
x29=−91.6297858097649x_{29} = -91.6297858097649
x30=65.4498469214818x_{30} = 65.4498469214818
x31=−7.85398148275426x_{31} = -7.85398148275426
x32=−89.5353907798946x_{32} = -89.5353907798946
x33=52.8834763368485x_{33} = 52.8834763368485
x34=−3.66519148604333x_{34} = -3.66519148604333
x35=38.2227106405207x_{35} = 38.2227106405207
x36=−58.1194639849907x_{36} = -58.1194639849907
x37=31.9395253695851x_{37} = 31.9395253695851
x38=−5.75958652429544x_{38} = -5.75958652429544
x39=−51.8362786866686x_{39} = -51.8362786866686
x40=44.5058957283325x_{40} = 44.5058957283325
x41=−35.0811179450754x_{41} = -35.0811179450754
x42=−16.2315618161685x_{42} = -16.2315618161685
x43=19.3731546352696x_{43} = 19.3731546352696
x44=−18.3259567289184x_{44} = -18.3259567289184
x45=−87.4409957974289x_{45} = -87.4409957974289
x46=−72.7802300882992x_{46} = -72.7802300882992
x47=−81.1578102285565x_{47} = -81.1578102285565
x48=−1.57079644926881x_{48} = -1.57079644926881
x49=46.6002906906483x_{49} = 46.6002906906483
x50=8.90117919506081x_{50} = 8.90117919506081
x51=54.9778715082298x_{51} = 54.9778715082298
x52=−41.3643036818294x_{52} = -41.3643036818294
x53=82.2050078074886x_{53} = 82.2050078074886
x54=96.8657734804063x_{54} = 96.8657734804063
x55=−32.9867227390467x_{55} = -32.9867227390467
x56=73.8274275139696x_{56} = 73.8274275139696
x57=98.9601686397123x_{57} = 98.9601686397123
x58=34.0339203601559x_{58} = 34.0339203601559
x59=42.4115007144701x_{59} = 42.4115007144701
x60=−47.6474886477959x_{60} = -47.6474886477959
x61=−56.0250689622813x_{61} = -56.0250689622813
x62=−76.9690198528362x_{62} = -76.9690198528362
x63=27.7507353658368x_{63} = 27.7507353658368
x64=84.2994028373596x_{64} = 84.2994028373596
x65=−49.7418836877654x_{65} = -49.7418836877654
x66=−68.5914396339443x_{66} = -68.5914396339443
x67=−93.72418085038x_{67} = -93.72418085038
x68=−24.6091424952907x_{68} = -24.6091424952907
x69=86.3937978774848x_{69} = 86.3937978774848
x70=59.166661864973x_{70} = 59.166661864973
x71=−100.007366130772x_{71} = -100.007366130772
x72=−62.308253906611x_{72} = -62.308253906611
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sin(3*x)).
log⁡(sin⁡(0⋅3))\log{\left(\sin{\left(0 \cdot 3 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3cos⁡(3x)sin⁡(3x)=0\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 0)
 6     

 pi       
(--, pi*I)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,π6]\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right]
Crece en los intervalos
[π6,∞)\left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−9(1+cos⁡2(3x)sin⁡2(3x))=0- 9 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(sin⁡(3x))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(sin⁡(3x))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sin(3*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(3x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(3x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(sin⁡(3x))=log⁡(−sin⁡(3x))\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} = \log{\left(- \sin{\left(3 x \right)} \right)}
- No
log⁡(sin⁡(3x))=−log⁡(−sin⁡(3x))\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} = - \log{\left(- \sin{\left(3 x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(sin(3*x))
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