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sinx+cos^(2)x
Trazado el gráfico de la función/ sinx+cos^(2)x

Gráfico de la función y = sinx+cos^(2)x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   2   
f(x) = sin(x) + cos (x)
f(x)=sin⁡(x)+cos⁡2(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} 
f = sin(x) + cos(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + cos(x)^2.
sin⁡(0)+cos⁡2(0)\sin{\left(0 \right)} + \cos^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=5π6x_{4} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -1)
  2       

 pi      
(--, 5/4)
 6       

 pi    
(--, 1)
 2     

 5*pi      
(----, 5/4)
  6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Decrece en los intervalos
[−π2,π6]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡2(x)−sin⁡(x)−2cos⁡2(x)=02 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(−14+29−334+334)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}
x2=−2atan⁡(14+233+94+334)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}
x3=−2atan⁡(−334+14+29−334)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}
x4=−2atan⁡(−233+94+14+334)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2atan⁡(14+233+94+334),−2atan⁡(−233+94+14+334)]∪[−2atan⁡(−334+14+29−334),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(14+233+94+334)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+cos⁡2(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+cos⁡2(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)+cos⁡2(x)=−sin⁡(x)+cos⁡2(x)\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)+cos⁡2(x)=sin⁡(x)−cos⁡2(x)\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sinx+cos^(2)x
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