Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx*ctgx

Gráfico de la función y = sinx*ctgx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x)*cot(x)
f(x)=sin⁡(x)cot⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} 
f = sin(x)*cot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)cot⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=4.71238898038469x_{1} = 4.71238898038469
x2=17.2787595947439x_{2} = 17.2787595947439
x3=−2266.65909956504x_{3} = -2266.65909956504
x4=−89.5353906273091x_{4} = -89.5353906273091
x5=64.4026493985908x_{5} = 64.4026493985908
x6=70.6858347057703x_{6} = 70.6858347057703
x7=36.1283155162826x_{7} = 36.1283155162826
x8=−98.9601685880785x_{8} = -98.9601685880785
x9=48.6946861306418x_{9} = 48.6946861306418
x10=−58.1194640914112x_{10} = -58.1194640914112
x11=7.85398163397448x_{11} = 7.85398163397448
x12=39.2699081698724x_{12} = 39.2699081698724
x13=−3623.82712591583x_{13} = -3623.82712591583
x14=−95.8185759344887x_{14} = -95.8185759344887
x15=−1.5707963267949x_{15} = -1.5707963267949
x16=−64.4026493985908x_{16} = -64.4026493985908
x17=−92.6769832808989x_{17} = -92.6769832808989
x18=−23.5619449019235x_{18} = -23.5619449019235
x19=23.5619449019235x_{19} = 23.5619449019235
x20=−387.986692718339x_{20} = -387.986692718339
x21=61.261056745001x_{21} = 61.261056745001
x22=29.845130209103x_{22} = 29.845130209103
x23=−32.9867228626928x_{23} = -32.9867228626928
x24=−51.8362787842316x_{24} = -51.8362787842316
x25=−80.1106126665397x_{25} = -80.1106126665397
x26=−83.2522053201295x_{26} = -83.2522053201295
x27=67.5442420521806x_{27} = 67.5442420521806
x28=98.9601685880785x_{28} = 98.9601685880785
x29=92.6769832808989x_{29} = 92.6769832808989
x30=−39.2699081698724x_{30} = -39.2699081698724
x31=86.3937979737193x_{31} = 86.3937979737193
x32=45.553093477052x_{32} = 45.553093477052
x33=−67.5442420521806x_{33} = -67.5442420521806
x34=51.8362787842316x_{34} = 51.8362787842316
x35=76.9690200129499x_{35} = 76.9690200129499
x36=−26.7035375555132x_{36} = -26.7035375555132
x37=−4.71238898038469x_{37} = -4.71238898038469
x38=95.8185759344887x_{38} = 95.8185759344887
x39=−86.3937979737193x_{39} = -86.3937979737193
x40=−10.9955742875643x_{40} = -10.9955742875643
x41=83.2522053201295x_{41} = 83.2522053201295
x42=−7.85398163397448x_{42} = -7.85398163397448
x43=−36.1283155162826x_{43} = -36.1283155162826
x44=−17.2787595947439x_{44} = -17.2787595947439
x45=−14.1371669411541x_{45} = -14.1371669411541
x46=20.4203522483337x_{46} = 20.4203522483337
x47=54.9778714378214x_{47} = 54.9778714378214
x48=−70.6858347057703x_{48} = -70.6858347057703
x49=−48.6946861306418x_{49} = -48.6946861306418
x50=−54.9778714378214x_{50} = -54.9778714378214
x51=−45.553093477052x_{51} = -45.553093477052
x52=14.1371669411541x_{52} = 14.1371669411541
x53=−73.8274273593601x_{53} = -73.8274273593601
x54=26.7035375555132x_{54} = 26.7035375555132
x55=89.5353906273091x_{55} = 89.5353906273091
x56=10.9955742875643x_{56} = 10.9955742875643
x57=80.1106126665397x_{57} = 80.1106126665397
x58=73.8274273593601x_{58} = 73.8274273593601
x59=58.1194640914112x_{59} = 58.1194640914112
x60=−61.261056745001x_{60} = -61.261056745001
x61=1.5707963267949x_{61} = 1.5707963267949
x62=−20.4203522483337x_{62} = -20.4203522483337
x63=−42.4115008234622x_{63} = -42.4115008234622
x64=32.9867228626928x_{64} = 32.9867228626928
x65=42.4115008234622x_{65} = 42.4115008234622
x66=−76.9690200129499x_{66} = -76.9690200129499
x67=−501.084028247572x_{67} = -501.084028247572
x68=−29.845130209103x_{68} = -29.845130209103
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)*cot(x).
sin⁡(0)cot⁡(0)\sin{\left(0 \right)} \cot{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−cot⁡2(x)−1)sin⁡(x)+cos⁡(x)cot⁡(x)=0\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cot⁡2(x)+1)sin⁡(x)cot⁡(x)−2(cot⁡2(x)+1)cos⁡(x)−sin⁡(x)cot⁡(x)=02 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} - 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(sin⁡(x)cot⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(sin⁡(x)cot⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)*cot(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡(x)cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sin⁡(x)cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)cot⁡(x)=sin⁡(x)cot⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)cot⁡(x)=−sin⁡(x)cot⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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