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Trazado el gráfico de la función/ sinx-((2/pi)x)

Gráfico de la función y = sinx-((2/pi)x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2   
f(x) = sin(x) - --*x
                pi
f(x)=−2πx+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = - \frac{2}{\pi} x + \sin{\left(x \right)} 
f = -2/pi*x + sin(x)
Gráfico de la función
-1.50-1.25-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.001.251.500.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2πx+sin⁡(x)=0- \frac{2}{\pi} x + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=−1.5707963267949x_{2} = -1.5707963267949
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) - 2/pi*x.
sin⁡(0)−02π\sin{\left(0 \right)} - 0 \frac{2}{\pi}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)−2π=0\cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\pi} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−acos⁡(2π)+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)} + 2 \pi
x2=acos⁡(2π)x_{2} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                                         /      /2 \       \ 
                           _________   2*|- acos|--| + 2*pi| 
       /2 \               /      4       \      \pi/       / 
(- acos|--| + 2*pi, -    /  1 - ---  - ---------------------)
       \pi/             /         2              pi          
                      \/        pi                           

                                  /2 \ 
                _________   2*acos|--| 
     /2 \      /      4           \pi/ 
(acos|--|,    /  1 - ---  - ----------)
     \pi/    /         2        pi     
           \/        pi


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−acos⁡(2π)+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)} + 2 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=acos⁡(2π)x_{1} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,acos⁡(2π)]∪[−acos⁡(2π)+2π,∞)\left(-\infty, \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}\right] \cup \left[- \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)} + 2 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[acos⁡(2π),−acos⁡(2π)+2π]\left[\operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}, - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)} + 2 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2πx+sin⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2}{\pi} x + \sin{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−2πx+sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\pi} x + \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - 2/pi*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2πx+sin⁡(x)x)=−2π\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{2}{\pi} x + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = - \frac{2}{\pi}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−2xπy = - \frac{2 x}{\pi}
lim⁡x→∞(−2πx+sin⁡(x)x)=−2π\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2}{\pi} x + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = - \frac{2}{\pi}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−2xπy = - \frac{2 x}{\pi}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2πx+sin⁡(x)=2xπ−sin⁡(x)- \frac{2}{\pi} x + \sin{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\pi} - \sin{\left(x \right)}
- No
−2πx+sin⁡(x)=−2xπ+sin⁡(x)- \frac{2}{\pi} x + \sin{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{\pi} + \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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