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Trazado el gráfico de la función/ sinx+sqrt(3)cosx-x

Gráfico de la función y = sinx+sqrt(3)cosx-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  ___           
f(x) = sin(x) + \/ 3 *cos(x) - x
f(x)=−x+(sin⁡(x)+3cos⁡(x))f{\left(x \right)} = - x + \left(\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right) 
f = -x + sin(x) + sqrt(3)*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+(sin⁡(x)+3cos⁡(x))=0- x + \left(\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.35204421150006x_{1} = 1.35204421150006
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + sqrt(3)*cos(x) - x.
−0+(sin⁡(0)+3cos⁡(0))- 0 + \left(\sin{\left(0 \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}
Punto:
(0, sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)+cos⁡(x)−1=0- \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
      ___ 
(0, \/ 3 )

 -2*pi      ___   2*pi 
(-----, - \/ 3  + ----)
   3               3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
[−2π3,0]\left[- \frac{2 \pi}{3}, 0\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2π3]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+3cos⁡(x))=0- (\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π3]\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[−π3,∞)\left[- \frac{\pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+(sin⁡(x)+3cos⁡(x)))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \left(\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+(sin⁡(x)+3cos⁡(x)))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + \left(\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + sqrt(3)*cos(x) - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+(sin⁡(x)+3cos⁡(x))x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \left(\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(−x+(sin⁡(x)+3cos⁡(x))x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+(sin⁡(x)+3cos⁡(x))=x−sin⁡(x)+3cos⁡(x)- x + \left(\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right) = x - \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}
- No
−x+(sin⁡(x)+3cos⁡(x))=−x+sin⁡(x)−3cos⁡(x)- x + \left(\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right) = - x + \sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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