Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+4)/e^(x+4)
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
Expresiones idénticas
- cosx/(uno -2cosx+sinx)
- coseno de x dividir por (1 menos 2 coseno de x más seno de x)
- coseno de x dividir por (uno menos 2 coseno de x más seno de x)
- cosx/1-2cosx+sinx
- cosx dividir por (1-2cosx+sinx)
-
Expresiones semejantes
- cosx/(1-2cosx-sinx)
- cosx/(1+2cosx+sinx)
-
Expresiones con funciones
- cosx
- cosx+1.5
- cosx/((x-2)(x+10))
- cosx+1/3cosx
- cosx+|cosx|
- cosx+|lnx+1.5|-3
- sinx
- sinx+tgx
- sinx-(24+x)/100
- sinx(x)
- sinx-1/2
- sinx\x
Gráfico de la función y = cosx/(1-2cosx+sinx)
Solución
Ha introducido
[src]
cos(x)
f(x) = ---------------------
1 - 2*cos(x) + sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}$$
f = cos(x)/(1 - 2*cos(x) + sin(x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1.5707963267949$$
$$x_{2} = 0.643501108793284$$
$$x_{1} = -1.5707963267949$$
$$x_{2} = 0.643501108793284$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 102.101761241668$$
$$x_{2} = 64.4026493985908$$
$$x_{3} = 70.6858347057703$$
$$x_{4} = -98.9601685880785$$
$$x_{5} = 7.85398163397448$$
$$x_{6} = 39.2699081698724$$
$$x_{7} = -92.6769832808989$$
$$x_{8} = -23.5619449019235$$
$$x_{9} = -80.1106126665397$$
$$x_{10} = 45.553093477052$$
$$x_{11} = -67.5442420521806$$
$$x_{12} = 51.8362787842316$$
$$x_{13} = 579.623844587317$$
$$x_{14} = 76.9690200129499$$
$$x_{15} = -4.71238898038469$$
$$x_{16} = 95.8185759344887$$
$$x_{17} = -86.3937979737193$$
$$x_{18} = -10.9955742875643$$
$$x_{19} = 83.2522053201295$$
$$x_{20} = -36.1283155162826$$
$$x_{21} = -17.2787595947439$$
$$x_{22} = 20.4203522483337$$
$$x_{23} = -48.6946861306418$$
$$x_{24} = -54.9778714378214$$
$$x_{25} = 14.1371669411541$$
$$x_{26} = -73.8274273593601$$
$$x_{27} = 26.7035375555132$$
$$x_{28} = 89.5353906273091$$
$$x_{29} = 58.1194640914112$$
$$x_{30} = -61.261056745001$$
$$x_{31} = 1.5707963267949$$
$$x_{32} = 32.9867228626928$$
$$x_{33} = -42.4115008234622$$
$$x_{34} = -155.508836352695$$
$$x_{35} = -29.845130209103$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 102.101761241668$$
$$x_{2} = 64.4026493985908$$
$$x_{3} = 70.6858347057703$$
$$x_{4} = -98.9601685880785$$
$$x_{5} = 7.85398163397448$$
$$x_{6} = 39.2699081698724$$
$$x_{7} = -92.6769832808989$$
$$x_{8} = -23.5619449019235$$
$$x_{9} = -80.1106126665397$$
$$x_{10} = 45.553093477052$$
$$x_{11} = -67.5442420521806$$
$$x_{12} = 51.8362787842316$$
$$x_{13} = 579.623844587317$$
$$x_{14} = 76.9690200129499$$
$$x_{15} = -4.71238898038469$$
$$x_{16} = 95.8185759344887$$
$$x_{17} = -86.3937979737193$$
$$x_{18} = -10.9955742875643$$
$$x_{19} = 83.2522053201295$$
$$x_{20} = -36.1283155162826$$
$$x_{21} = -17.2787595947439$$
$$x_{22} = 20.4203522483337$$
$$x_{23} = -48.6946861306418$$
$$x_{24} = -54.9778714378214$$
$$x_{25} = 14.1371669411541$$
$$x_{26} = -73.8274273593601$$
$$x_{27} = 26.7035375555132$$
$$x_{28} = 89.5353906273091$$
$$x_{29} = 58.1194640914112$$
$$x_{30} = -61.261056745001$$
$$x_{31} = 1.5707963267949$$
$$x_{32} = 32.9867228626928$$
$$x_{33} = -42.4115008234622$$
$$x_{34} = -155.508836352695$$
$$x_{35} = -29.845130209103$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(- 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(- 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.5707963267949$$
$$x_{2} = 0.643501108793284$$
$$\lim_{x \to -1.5707963267949^-}\left(\frac{\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}\right) = -3.26624787063907 \cdot 10^{16}$$
$$\lim_{x \to -1.5707963267949^+}\left(\frac{\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}\right) = -3.34461067627545 \cdot 10^{31}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1.5707963267949$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0.643501108793284^-}\left(\frac{\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.643501108793284^+}\left(\frac{\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}\right) = -4.67680523945889 \cdot 10^{48}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0.643501108793284$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.5707963267949$$
$$x_{2} = 0.643501108793284$$
$$\lim_{x \to -1.5707963267949^-}\left(\frac{\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}\right) = -3.26624787063907 \cdot 10^{16}$$
$$\lim_{x \to -1.5707963267949^+}\left(\frac{\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}\right) = -3.34461067627545 \cdot 10^{31}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1.5707963267949$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0.643501108793284^-}\left(\frac{\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.643501108793284^+}\left(\frac{\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}\right) = -4.67680523945889 \cdot 10^{48}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0.643501108793284$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1.5707963267949$$
$$x_{2} = 0.643501108793284$$
$$x_{1} = -1.5707963267949$$
$$x_{2} = 0.643501108793284$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/(1 - 2*cos(x) + sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right)}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right)}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right)}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right)}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}$$
- No
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}$$
- No
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar