Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx-(24+x)/100

Gráfico de la función y = sinx-(24+x)/100

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                24 + x
f(x) = sin(x) - ------
                 100
f(x)=−x+24100+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = - \frac{x + 24}{100} + \sin{\left(x \right)} 
f = -(x + 24)/100 + sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+24100+sin⁡(x)=0- \frac{x + 24}{100} + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=71.0032897614841x_{1} = 71.0032897614841
x2=0.244889262401519x_{2} = 0.244889262401519
x3=44.7402030138469x_{3} = 44.7402030138469
x4=19.2973447703104x_{4} = 19.2973447703104
x5=−75.944424120866x_{5} = -75.944424120866
x6=−9.5695876600399x_{6} = -9.5695876600399
x7=−37.8379366937911x_{7} = -37.8379366937911
x8=−6.10324838315571x_{8} = -6.10324838315571
x9=−15.790154232558x_{9} = -15.790154232558
x10=21.518567837636x_{10} = 21.518567837636
x11=−18.7975074995227x_{11} = -18.7975074995227
x12=−22.0110394918199x_{12} = -22.0110394918199
x13=−59.3291730063894x_{13} = -59.3291730063894
x14=−115.093386129433x_{14} = -115.093386129433
x15=9.08754681367312x_{15} = 9.08754681367312
x16=15.3040276336122x_{16} = 15.3040276336122
x17=33.9395325836348x_{17} = 33.9395325836348
x18=−3.3495933122633x_{18} = -3.3495933122633
x19=32.0104383331328x_{19} = 32.0104383331328
x20=6.59411209976856x_{20} = 6.59411209976856
x21=−96.5772160977479x_{21} = -96.5772160977479
x22=70.3480169470577x_{22} = 70.3480169470577
x23=−46.8929123550235x_{23} = -46.8929123550235
x24=51.1152892731233x_{24} = 51.1152892731233
x25=−34.4527999011811x_{25} = -34.4527999011811
x26=−44.1855491918567x_{26} = -44.1855491918567
x27=−53.1116811073863x_{27} = -53.1116811073863
x28=52.5354826532036x_{28} = 52.5354826532036
x29=−40.6731902558082x_{29} = -40.6731902558082
x30=−120.693443508627x_{30} = -120.693443508627
x31=−28.2320012274351x_{31} = -28.2320012274351
x32=−63.2350385546135x_{32} = -63.2350385546135
x33=2.86955413978602x_{33} = 2.86955413978602
x34=−25.1441833115004x_{34} = -25.1441833115004
x35=38.3726125748924x_{35} = 38.3726125748924
x36=−84.1772826584615x_{36} = -84.1772826584615
x37=−31.4909058287168x_{37} = -31.4909058287168
x38=−50.5340394118539x_{38} = -50.5340394118539
x39=−65.5450081741621x_{39} = -65.5450081741621
x40=−12.4506184871354x_{40} = -12.4506184871354
x41=−77.9697387294466x_{41} = -77.9697387294466
x42=64.8787528522804x_{42} = 64.8787528522804
x43=−101.416357544104x_{43} = -101.416357544104
x44=57.501421491248x_{44} = 57.501421491248
x45=−69.5884035958374x_{45} = -69.5884035958374
x46=−71.7587245606192x_{46} = -71.7587245606192
x47=25.6523300889587x_{47} = 25.6523300889587
x48=12.9447853809948x_{48} = 12.9447853809948
x49=−121.188984364902x_{49} = -121.188984364902
x50=−90.3802948098934x_{50} = -90.3802948098934
x51=−95.0378149528961x_{51} = -95.0378149528961
x52=46.3436685622653x_{52} = 46.3436685622653
x53=−88.6678156394883x_{53} = -88.6678156394883
x54=40.1443264248965x_{54} = 40.1443264248965
x55=58.716221434586x_{55} = 58.716221434586
x56=−82.3038729169747x_{56} = -82.3038729169747
x57=−56.8837400119253x_{57} = -56.8837400119253
x58=63.9057342544496x_{58} = 63.9057342544496
x59=27.7306334762715x_{59} = 27.7306334762715
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) - (24 + x)/100.
−24100+sin⁡(0)- \frac{24}{100} + \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−625f{\left(0 \right)} = - \frac{6}{25}
Punto:
(0, -6/25)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)−1100=0\cos{\left(x \right)} - \frac{1}{100} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−acos⁡(1100)+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{100} \right)} + 2 \pi
x2=acos⁡(1100)x_{2} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{100} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                                 ______                    
                        6    3*\/ 1111    pi   acos(1/100) 
(-acos(1/100) + 2*pi, - -- - ---------- - -- + -----------)
                        25      100       50       100     

                                       ______ 
                6    acos(1/100)   3*\/ 1111  
(acos(1/100), - -- - ----------- + ----------)
                25       100          100


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−acos⁡(1100)+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{100} \right)} + 2 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=acos⁡(1100)x_{1} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{100} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,acos⁡(1100)]∪[−acos⁡(1100)+2π,∞)\left(-\infty, \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{100} \right)}\right] \cup \left[- \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{100} \right)} + 2 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[acos⁡(1100),−acos⁡(1100)+2π]\left[\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{100} \right)}, - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{100} \right)} + 2 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+24100+sin⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x + 24}{100} + \sin{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+24100+sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x + 24}{100} + \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - (24 + x)/100, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+24100+sin⁡(x)x)=−1100\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x + 24}{100} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = - \frac{1}{100}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−x100y = - \frac{x}{100}
lim⁡x→∞(−x+24100+sin⁡(x)x)=−1100\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x + 24}{100} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = - \frac{1}{100}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−x100y = - \frac{x}{100}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+24100+sin⁡(x)=x100−sin⁡(x)−625- \frac{x + 24}{100} + \sin{\left(x \right)} = \frac{x}{100} - \sin{\left(x \right)} - \frac{6}{25}
- No
−x+24100+sin⁡(x)=−x100+sin⁡(x)+625- \frac{x + 24}{100} + \sin{\left(x \right)} = - \frac{x}{100} + \sin{\left(x \right)} + \frac{6}{25}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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