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Trazado el gráfico de la función/ sinx-8

Gráfico de la función y = sinx-8

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x) - 8
f(x)=sin⁡(x)−8f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - 8 
f = sin(x) - 8
Gráfico de la función
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-8.00-7.99
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)−8=0\sin{\left(x \right)} - 8 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) - 8.
−8+sin⁡(0)-8 + \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−8f{\left(0 \right)} = -8
Punto:
(0, -8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)=0\cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi     
(--, -7)
 2      

 3*pi     
(----, -9)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−8)=⟨−9,−7⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - 8\right) = \left\langle -9, -7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−9,−7⟩y = \left\langle -9, -7\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)−8)=⟨−9,−7⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - 8\right) = \left\langle -9, -7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−9,−7⟩y = \left\langle -9, -7\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - 8, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−8x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 8}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)−8x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 8}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)−8=−sin⁡(x)−8\sin{\left(x \right)} - 8 = - \sin{\left(x \right)} - 8
- No
sin⁡(x)−8=sin⁡(x)+8\sin{\left(x \right)} - 8 = \sin{\left(x \right)} + 8
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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