Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 8-9*sin(x-8)

Gráfico de la función y = 8-9*sin(x-8)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 8 - 9*sin(x - 8)
f(x)=8−9sin⁡(x−8)f{\left(x \right)} = 8 - 9 \sin{\left(x - 8 \right)} 
f = 8 - 9*sin(x - 8)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
8−9sin⁡(x−8)=08 - 9 \sin{\left(x - 8 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=asin⁡(89)+8x_{1} = \operatorname{asin}{\left(\frac{8}{9} \right)} + 8
x2=−asin⁡(89)+π+8x_{2} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{8}{9} \right)} + \pi + 8
Solución numérica
x1=79.1617169554308x_{1} = 79.1617169554308
x2=2.81172876995489x_{2} = 2.81172876995489
x3=−90.4842863384181x_{3} = -90.4842863384181
x4=22.6130491908145x_{4} = 22.6130491908145
x5=−85.1528655305593x_{5} = -85.1528655305593
x6=34.2276553058528x_{6} = 34.2276553058528
x7=16.3298638836349x_{7} = 16.3298638836349
x8=27.9444699986732x_{8} = 27.9444699986732
x9=−9.75464184440428x_{9} = -9.75464184440428
x10=9.09491407713448x_{10} = 9.09491407713448
x11=−53.7369389946614x_{11} = -53.7369389946614
x12=−15.086062652263x_{12} = -15.086062652263
x13=10.0466785764553x_{13} = 10.0466785764553
x14=4520.42196463208x_{14} = 4520.42196463208
x15=91.7280875697899x_{15} = 91.7280875697899
x16=90.7763230704691x_{16} = 90.7763230704691
x17=−173.117459831074x_{17} = -173.117459831074
x18=66.5953463410716x_{18} = 66.5953463410716
x19=−21.3692479594426x_{19} = -21.3692479594426
x20=59.3603965345712x_{20} = 59.3603965345712
x21=−16.0378271515839x_{21} = -16.0378271515839
x22=65.6435818417508x_{22} = 65.6435818417508
x23=−78.8696802233797x_{23} = -78.8696802233797
x24=3.76349326927573x_{24} = 3.76349326927573
x25=562.015221108938x_{25} = 562.015221108938
x26=−8.80287734508345x_{26} = -8.80287734508345
x27=47.7457904195328x_{27} = 47.7457904195328
x28=54.0289757267124x_{28} = 54.0289757267124
x29=−97.7192361449185x_{29} = -97.7192361449185
x30=−10251.3466925471x_{30} = -10251.3466925471
x31=−52.7851744953405x_{31} = -52.7851744953405
x32=60.312161033892x_{32} = 60.312161033892
x33=21.6612846914937x_{33} = 21.6612846914937
x34=1090.75455141134x_{34} = 1090.75455141134
x35=−84.2011010312385x_{35} = -84.2011010312385
x36=72.8785316482512x_{36} = 72.8785316482512
x37=28.8962344979941x_{37} = 28.8962344979941
x38=−28.604197765943x_{38} = -28.604197765943
x39=−96.7674716455977x_{39} = -96.7674716455977
x40=−33.9356185738018x_{40} = -33.9356185738018
x41=−27.6524332666222x_{41} = -27.6524332666222
x42=15.3780993843141x_{42} = 15.3780993843141
x43=−41.1705683803022x_{43} = -41.1705683803022
x44=46.794025920212x_{44} = 46.794025920212
x45=97.0595083776487x_{45} = 97.0595083776487
x46=−72.5864949162001x_{46} = -72.5864949162001
x47=−3.47145653722469x_{47} = -3.47145653722469
x48=35.1794198051737x_{48} = 35.1794198051737
x49=41.4626051123532x_{49} = 41.4626051123532
x50=−66.3033096090206x_{50} = -66.3033096090206
x51=−59.0683598025201x_{51} = -59.0683598025201
x52=53.0772112273916x_{52} = 53.0772112273916
x53=−40.2188038809814x_{53} = -40.2188038809814
x54=−2.51969203790386x_{54} = -2.51969203790386
x55=85.4449022626104x_{55} = 85.4449022626104
x56=71.9267671489303x_{56} = 71.9267671489303
x57=78.2099524561099x_{57} = 78.2099524561099
x58=−91.4360508377389x_{58} = -91.4360508377389
x59=−65.3515451096997x_{59} = -65.3515451096997
x60=−47.4537536874818x_{60} = -47.4537536874818
x61=−71.6347304168793x_{61} = -71.6347304168793
x62=−22.3210124587635x_{62} = -22.3210124587635
x63=−436.059478233295x_{63} = -436.059478233295
x64=−34.8873830731226x_{64} = -34.8873830731226
x65=−77.9179157240589x_{65} = -77.9179157240589
x66=40.5108406130324x_{66} = 40.5108406130324
x67=98.0112728769695x_{67} = 98.0112728769695
x68=−228.714363096369x_{68} = -228.714363096369
x69=2699.24999004932x_{69} = 2699.24999004932
x70=−60.020124301841x_{70} = -60.020124301841
x71=84.4931377632895x_{71} = 84.4931377632895
x72=−46.501989188161x_{72} = -46.501989188161
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 8 - 9*sin(x - 8).
8−9sin⁡(−8)8 - 9 \sin{\left(-8 \right)}
Resultado:
f(0)=8+9sin⁡(8)f{\left(0 \right)} = 8 + 9 \sin{\left(8 \right)}
Punto:
(0, 8 + 9*sin(8))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−9cos⁡(x−8)=0- 9 \cos{\left(x - 8 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2+8x_{1} = \frac{\pi}{2} + 8
x2=3π2+8x_{2} = \frac{3 \pi}{2} + 8
Signos de extremos en los puntos:
     pi     
(8 + --, -1)
     2      

     3*pi     
(8 + ----, 17)
      2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2+8x_{1} = \frac{\pi}{2} + 8
Puntos máximos de la función:
x1=3π2+8x_{1} = \frac{3 \pi}{2} + 8
Decrece en los intervalos
[π2+8,3π2+8]\left[\frac{\pi}{2} + 8, \frac{3 \pi}{2} + 8\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π2+8]∪[3π2+8,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2} + 8\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2} + 8, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9sin⁡(x−8)=09 \sin{\left(x - 8 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8x_{1} = 8
x2=π+8x_{2} = \pi + 8

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[8,π+8]\left[8, \pi + 8\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,8]∪[π+8,∞)\left(-\infty, 8\right] \cup \left[\pi + 8, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(8−9sin⁡(x−8))=⟨−1,17⟩\lim_{x \to -\infty}\left(8 - 9 \sin{\left(x - 8 \right)}\right) = \left\langle -1, 17\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,17⟩y = \left\langle -1, 17\right\rangle
lim⁡x→∞(8−9sin⁡(x−8))=⟨−1,17⟩\lim_{x \to \infty}\left(8 - 9 \sin{\left(x - 8 \right)}\right) = \left\langle -1, 17\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,17⟩y = \left\langle -1, 17\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 8 - 9*sin(x - 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(8−9sin⁡(x−8)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 - 9 \sin{\left(x - 8 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(8−9sin⁡(x−8)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 - 9 \sin{\left(x - 8 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
8−9sin⁡(x−8)=9sin⁡(x+8)+88 - 9 \sin{\left(x - 8 \right)} = 9 \sin{\left(x + 8 \right)} + 8
- No
8−9sin⁡(x−8)=−9sin⁡(x+8)−88 - 9 \sin{\left(x - 8 \right)} = - 9 \sin{\left(x + 8 \right)} - 8
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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