Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- sin(2x)/(sinx)
- seno de (2x) dividir por ( seno de x)
- sin2x/sinx
- sin(2x) dividir por (sinx)
-
Expresiones semejantes
- (x+sin(2*x))/sin(x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)^2/(x^2*cos(x)^2)
- sin(pi*x)/sin(pi*x)
- sin((pi*x^2)/(1+x^2))
- sin(2*x-pi/4)
- sin(3*x)+3
- sinx
- sinx*sinx+cosx
- sinx+sin2x
- sinx:2
- sinx/(x^2-4)
- sinx\(x(x-2))
Gráfico de la función y = sin(2x)/(sinx)
Solución
Ha introducido
[src]
sin(2*x)
f(x) = --------
sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
f = sin(2*x)/sin(x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 32.9867228626928$$
$$x_{2} = 73.8274273593601$$
$$x_{3} = 4.71238898038469$$
$$x_{4} = 39.2699081698724$$
$$x_{5} = 95.8185759344887$$
$$x_{6} = 45.553093477052$$
$$x_{7} = 70.6858347057703$$
$$x_{8} = -10.9955742875643$$
$$x_{9} = -58.1194640914112$$
$$x_{10} = -23.5619449019235$$
$$x_{11} = 26.7035375555132$$
$$x_{12} = -26.7035375555132$$
$$x_{13} = -89.5353906273091$$
$$x_{14} = -387.986692718339$$
$$x_{15} = -17.2787595947439$$
$$x_{16} = -42.4115008234622$$
$$x_{17} = -3498.16341977223$$
$$x_{18} = -61.261056745001$$
$$x_{19} = 92.6769832808989$$
$$x_{20} = -76.9690200129499$$
$$x_{21} = -92.6769832808989$$
$$x_{22} = -98.9601685880785$$
$$x_{23} = 61.261056745001$$
$$x_{24} = -54.9778714378214$$
$$x_{25} = 42.4115008234622$$
$$x_{26} = -64.4026493985908$$
$$x_{27} = 67.5442420521806$$
$$x_{28} = -7.85398163397448$$
$$x_{29} = 80.1106126665397$$
$$x_{30} = -14.1371669411541$$
$$x_{31} = 14.1371669411541$$
$$x_{32} = -1.5707963267949$$
$$x_{33} = 1.5707963267949$$
$$x_{34} = 29.845130209103$$
$$x_{35} = 10.9955742875643$$
$$x_{36} = 17.2787595947439$$
$$x_{37} = -51.8362787842316$$
$$x_{38} = -29.845130209103$$
$$x_{39} = -48.6946861306418$$
$$x_{40} = -73.8274273593601$$
$$x_{41} = 23.5619449019235$$
$$x_{42} = 20.4203522483337$$
$$x_{43} = -86.3937979737193$$
$$x_{44} = 54.9778714378214$$
$$x_{45} = 58.1194640914112$$
$$x_{46} = 51.8362787842316$$
$$x_{47} = -67.5442420521806$$
$$x_{48} = -4.71238898038469$$
$$x_{49} = -45.553093477052$$
$$x_{50} = -70.6858347057703$$
$$x_{51} = -2266.65909956504$$
$$x_{52} = 48.6946861306418$$
$$x_{53} = -83.2522053201295$$
$$x_{54} = -95.8185759344887$$
$$x_{55} = 89.5353906273091$$
$$x_{56} = -39.2699081698724$$
$$x_{57} = 76.9690200129499$$
$$x_{58} = -32.9867228626928$$
$$x_{59} = -20.4203522483337$$
$$x_{60} = -36.1283155162826$$
$$x_{61} = 7.85398163397448$$
$$x_{62} = -80.1106126665397$$
$$x_{63} = 86.3937979737193$$
$$x_{64} = 98.9601685880785$$
$$x_{65} = 36.1283155162826$$
$$x_{66} = 64.4026493985908$$
$$x_{67} = 83.2522053201295$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 32.9867228626928$$
$$x_{2} = 73.8274273593601$$
$$x_{3} = 4.71238898038469$$
$$x_{4} = 39.2699081698724$$
$$x_{5} = 95.8185759344887$$
$$x_{6} = 45.553093477052$$
$$x_{7} = 70.6858347057703$$
$$x_{8} = -10.9955742875643$$
$$x_{9} = -58.1194640914112$$
$$x_{10} = -23.5619449019235$$
$$x_{11} = 26.7035375555132$$
$$x_{12} = -26.7035375555132$$
$$x_{13} = -89.5353906273091$$
$$x_{14} = -387.986692718339$$
$$x_{15} = -17.2787595947439$$
$$x_{16} = -42.4115008234622$$
$$x_{17} = -3498.16341977223$$
$$x_{18} = -61.261056745001$$
$$x_{19} = 92.6769832808989$$
$$x_{20} = -76.9690200129499$$
$$x_{21} = -92.6769832808989$$
$$x_{22} = -98.9601685880785$$
$$x_{23} = 61.261056745001$$
$$x_{24} = -54.9778714378214$$
$$x_{25} = 42.4115008234622$$
$$x_{26} = -64.4026493985908$$
$$x_{27} = 67.5442420521806$$
$$x_{28} = -7.85398163397448$$
$$x_{29} = 80.1106126665397$$
$$x_{30} = -14.1371669411541$$
$$x_{31} = 14.1371669411541$$
$$x_{32} = -1.5707963267949$$
$$x_{33} = 1.5707963267949$$
$$x_{34} = 29.845130209103$$
$$x_{35} = 10.9955742875643$$
$$x_{36} = 17.2787595947439$$
$$x_{37} = -51.8362787842316$$
$$x_{38} = -29.845130209103$$
$$x_{39} = -48.6946861306418$$
$$x_{40} = -73.8274273593601$$
$$x_{41} = 23.5619449019235$$
$$x_{42} = 20.4203522483337$$
$$x_{43} = -86.3937979737193$$
$$x_{44} = 54.9778714378214$$
$$x_{45} = 58.1194640914112$$
$$x_{46} = 51.8362787842316$$
$$x_{47} = -67.5442420521806$$
$$x_{48} = -4.71238898038469$$
$$x_{49} = -45.553093477052$$
$$x_{50} = -70.6858347057703$$
$$x_{51} = -2266.65909956504$$
$$x_{52} = 48.6946861306418$$
$$x_{53} = -83.2522053201295$$
$$x_{54} = -95.8185759344887$$
$$x_{55} = 89.5353906273091$$
$$x_{56} = -39.2699081698724$$
$$x_{57} = 76.9690200129499$$
$$x_{58} = -32.9867228626928$$
$$x_{59} = -20.4203522483337$$
$$x_{60} = -36.1283155162826$$
$$x_{61} = 7.85398163397448$$
$$x_{62} = -80.1106126665397$$
$$x_{63} = 86.3937979737193$$
$$x_{64} = 98.9601685880785$$
$$x_{65} = 36.1283155162826$$
$$x_{66} = 64.4026493985908$$
$$x_{67} = 83.2522053201295$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = -2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = -2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(2 x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x)/sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico