Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin((pi*x^2)/(1+x^2))

Gráfico de la función y = sin((pi*x^2)/(1+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    2 \
          |pi*x  |
f(x) = sin|------|
          |     2|
          \1 + x /
f(x)=sin⁡(πx2x2+1)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} 
f = sin((pi*x^2)/(x^2 + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(πx2x2+1)=0\sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin((pi*x^2)/(1 + x^2)).
sin⁡(02π02+1)\sin{\left(\frac{0^{2} \pi}{0^{2} + 1} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2πx3(x2+1)2+2πxx2+1)cos⁡(πx2x2+1)=0\left(- \frac{2 \pi x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 \pi x}{x^{2} + 1}\right) \cos{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 1)

(0, 0)

(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,−1]∪[0,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2π(−2πx2(x2x2+1−1)2sin⁡(πx2x2+1)x2+1+(4x4(x2+1)2−5x2x2+1+1)cos⁡(πx2x2+1))x2+1=0\frac{2 \pi \left(- \frac{2 \pi x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)^{2} \sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2} + 1} + \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right) \cos{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}\right)}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−10233.5083091537x_{1} = -10233.5083091537
x2=−8271.13577016935x_{2} = -8271.13577016935
x3=2202.72243045659x_{3} = 2202.72243045659
x4=9831.18188864176x_{4} = 9831.18188864176
x5=0.418647908016152x_{5} = 0.418647908016152
x6=−4783.00199276551x_{6} = -4783.00199276551
x7=7650.80418670545x_{7} = 7650.80418670545
x8=2855.73853750464x_{8} = 2855.73853750464
x9=6560.69651469126x_{9} = 6560.69651469126
x10=−10015.4618843571x_{10} = -10015.4618843571
x11=8522.93529067886x_{11} = 8522.93529067886
x12=−6526.93606382519x_{12} = -6526.93606382519
x13=10485.3215717616x_{13} = 10485.3215717616
x14=−6962.96892314946x_{14} = -6962.96892314946
x15=4162.91170797364x_{15} = 4162.91170797364
x16=8740.97274910688x_{16} = 8740.97274910688
x17=−9579.37229181037x_{17} = -9579.37229181037
x18=9395.09427003056x_{18} = 9395.09427003056
x19=10267.2740037325x_{19} = 10267.2740037325
x20=10921.4194266244x_{20} = 10921.4194266244
x21=6124.67781517136x_{21} = 6124.67781517136
x22=9613.13747893978x_{22} = 9613.13747893978
x23=−6308.92523474481x_{23} = -6308.92523474481
x24=5906.67523824339x_{24} = 5906.67523824339
x25=−7180.99027013674x_{25} = -7180.99027013674
x26=4816.75479959595x_{26} = 4816.75479959595
x27=7868.83384077816x_{27} = 7868.83384077816
x28=10703.3700645575x_{28} = 10703.3700645575
x29=−3911.24677356402x_{29} = -3911.24677356402
x30=−7399.01450730309x_{30} = -7399.01450730309
x31=−4129.16456482366x_{31} = -4129.16456482366
x32=8959.01180620896x_{32} = 8959.01180620896
x33=6778.71176150045x_{33} = 6778.71176150045
x34=−3257.61748719824x_{34} = -3257.61748719824
x35=2420.32080190296x_{35} = 2420.32080190296
x36=7432.77692033347x_{36} = 7432.77692033347
x37=−2169.03487647211x_{37} = -2169.03487647211
x38=−6090.91867695872x_{38} = -6090.91867695872
x39=−2386.61870746497x_{39} = -2386.61870746497
x40=3291.35106068637x_{40} = 3291.35106068637
x41=−10669.6040822994x_{41} = -10669.6040822994
x42=−9143.28756110168x_{42} = -9143.28756110168
x43=−9797.41652102506x_{43} = -9797.41652102506
x44=5688.67787312574x_{44} = 5688.67787312574
x45=−4565.04420318192x_{45} = -4565.04420318192
x46=−8053.10220370337x_{46} = -8053.10220370337
x47=−2604.28605925462x_{47} = -2604.28605925462
x48=−1.53054720935956x_{48} = -1.53054720935956
x49=7214.75225901282x_{49} = 7214.75225901282
x50=3727.08875141127x_{50} = 3727.08875141127
x51=−8707.2084247155x_{51} = -8707.2084247155
x52=2637.99911309733x_{52} = 2637.99911309733
x53=−5654.92036386679x_{53} = -5654.92036386679
x54=4380.84710536097x_{54} = 4380.84710536097
x55=5252.70139302237x_{55} = 5252.70139302237
x56=−3039.79754688105x_{56} = -3039.79754688105
x57=9177.05234772358x_{57} = 9177.05234772358
x58=8086.8656887436x_{58} = 8086.8656887436
x59=5034.72387113225x_{59} = 5034.72387113225
x60=−7835.07068335632x_{60} = -7835.07068335632
x61=−4347.09778638317x_{61} = -4347.09778638317
x62=−7617.0413854783x_{62} = -7617.0413854783
x63=6996.73044732707x_{63} = 6996.73044732707
x64=−8925.24724222761x_{64} = -8925.24724222761
x65=1985.23152825107x_{65} = 1985.23152825107
x66=8304.89955723068x_{66} = 8304.89955723068
x67=3073.52575293227x_{67} = 3073.52575293227
x68=−10887.6533133193x_{68} = -10887.6533133193
x69=−8489.17122459322x_{69} = -8489.17122459322
x70=−3693.34718444501x_{70} = -3693.34718444501
x71=3944.99136365773x_{71} = 3944.99136365773
x72=3509.20722852832x_{72} = 3509.20722852832
x73=−9361.32927615484x_{73} = -9361.32927615484
x74=−6744.95074790825x_{74} = -6744.95074790825
x75=−5218.94593965188x_{75} = -5218.94593965188
x76=−5000.96965411287x_{76} = -5000.96965411287
x77=6342.68506338601x_{77} = 6342.68506338601
x78=4598.79539172031x_{78} = 4598.79539172031
x79=−2822.01701437249x_{79} = -2822.01701437249
x80=10049.2274207954x_{80} = 10049.2274207954
x81=−5872.91686902254x_{81} = -5872.91686902254
x82=−5436.92980385359x_{82} = -5436.92980385359
x83=−10451.5557288406x_{83} = -10451.5557288406
x84=−3475.46927814155x_{84} = -3475.46927814155
x85=5470.68634722005x_{85} = 5470.68634722005

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[9613.13747893978,∞)\left[9613.13747893978, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−9143.28756110168]\left(-\infty, -9143.28756110168\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(πx2x2+1)=0\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞sin⁡(πx2x2+1)=0\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin((pi*x^2)/(1 + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(πx2x2+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(πx2x2+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(πx2x2+1)=sin⁡(πx2x2+1)\sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}
- Sí
sin⁡(πx2x2+1)=−sin⁡(πx2x2+1)\sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = - \sin{\left(\frac{\pi x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}
- No
es decir, función
es
par
    © Sr Examen – Калькулятор