Sr Examen

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sin(4*x)*cos(x)+2*sin(3*x)-cos(4*x)*sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(4*x)*cos(x)+2*sin(3*x)-cos(4*x)*sin(x)

Gráfico de la función y = sin(4*x)*cos(x)+2*sin(3*x)-cos(4*x)*sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(4*x)*cos(x) + 2*sin(3*x) - cos(4*x)*sin(x)
f(x)=(2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)f{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} 
f = 2*sin(3*x) + sin(4*x)*cos(x) - sin(x)*cos(4*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)=0\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x4=π3x_{4} = \frac{\pi}{3}
x5=2π3x_{5} = \frac{2 \pi}{3}
x6=πx_{6} = \pi
Solución numérica
x1=−50.2654824574367x_{1} = -50.2654824574367
x2=85.870199198121x_{2} = 85.870199198121
x3=74.3510261349584x_{3} = 74.3510261349584
x4=−41.8879020478639x_{4} = -41.8879020478639
x5=−68.0678408277789x_{5} = -68.0678408277789
x6=−77.4926187885482x_{6} = -77.4926187885482
x7=72.2566310325652x_{7} = 72.2566310325652
x8=−43.9822971502571x_{8} = -43.9822971502571
x9=−90.0589894029074x_{9} = -90.0589894029074
x10=−99.4837673636768x_{10} = -99.4837673636768
x11=−37.6991118430775x_{11} = -37.6991118430775
x12=34.5575191894877x_{12} = 34.5575191894877
x13=−94.2477796076938x_{13} = -94.2477796076938
x14=52.3598775598299x_{14} = 52.3598775598299
x15=−48.1710873550435x_{15} = -48.1710873550435
x16=−21.9911485751286x_{16} = -21.9911485751286
x17=50.2654824574367x_{17} = 50.2654824574367
x18=−15.707963267949x_{18} = -15.707963267949
x19=−46.0766922526503x_{19} = -46.0766922526503
x20=−2.0943951023932x_{20} = -2.0943951023932
x21=21.9911485751286x_{21} = 21.9911485751286
x22=−87.9645943005142x_{22} = -87.9645943005142
x23=−72.2566310325652x_{23} = -72.2566310325652
x24=−92.1533845053006x_{24} = -92.1533845053006
x25=70.162235930172x_{25} = 70.162235930172
x26=4.18879020478639x_{26} = 4.18879020478639
x27=59.6902604182061x_{27} = 59.6902604182061
x28=41.8879020478639x_{28} = 41.8879020478639
x29=−70.162235930172x_{29} = -70.162235930172
x30=−13.6135681655558x_{30} = -13.6135681655558
x31=−85.870199198121x_{31} = -85.870199198121
x32=48.1710873550435x_{32} = 48.1710873550435
x33=−17.8023583703422x_{33} = -17.8023583703422
x34=10.471975511966x_{34} = 10.471975511966
x35=−35.6047167406843x_{35} = -35.6047167406843
x36=−55.5014702134197x_{36} = -55.5014702134197
x37=−65.9734457253857x_{37} = -65.9734457253857
x38=46.0766922526503x_{38} = 46.0766922526503
x39=15.707963267949x_{39} = 15.707963267949
x40=−83.7758040957278x_{40} = -83.7758040957278
x41=28.2743338823081x_{41} = 28.2743338823081
x42=94.2477796076938x_{42} = 94.2477796076938
x43=63.8790506229925x_{43} = 63.8790506229925
x44=39.7935069454707x_{44} = 39.7935069454707
x45=80.634211442138x_{45} = 80.634211442138
x46=−79.5870138909414x_{46} = -79.5870138909414
x47=37.6991118430775x_{47} = 37.6991118430775
x48=96.342174710087x_{48} = 96.342174710087
x49=6.28318530717959x_{49} = 6.28318530717959
x50=−54.4542726622231x_{50} = -54.4542726622231
x51=83.7758040957278x_{51} = 83.7758040957278
x52=−6.28318530717959x_{52} = -6.28318530717959
x53=−19.8967534727354x_{53} = -19.8967534727354
x54=8.37758040957278x_{54} = 8.37758040957278
x55=−33.5103216382911x_{55} = -33.5103216382911
x56=−11.5191730631626x_{56} = -11.5191730631626
x57=−61.7846555205993x_{57} = -61.7846555205993
x58=−29.3215314335047x_{58} = -29.3215314335047
x59=−24.0855436775217x_{59} = -24.0855436775217
x60=−10.471975511966x_{60} = -10.471975511966
x61=0x_{61} = 0
x62=−39.7935069454707x_{62} = -39.7935069454707
x63=2.0943951023932x_{63} = 2.0943951023932
x64=54.4542726622231x_{64} = 54.4542726622231
x65=17.8023583703422x_{65} = 17.8023583703422
x66=−28.2743338823081x_{66} = -28.2743338823081
x67=81.6814089933346x_{67} = 81.6814089933346
x68=−26.1799387799149x_{68} = -26.1799387799149
x69=98.4365698124802x_{69} = 98.4365698124802
x70=100.530964914873x_{70} = 100.530964914873
x71=24.0855436775217x_{71} = 24.0855436775217
x72=−8.37758040957278x_{72} = -8.37758040957278
x73=746.651854003174x_{73} = 746.651854003174
x74=78.5398163397448x_{74} = 78.5398163397448
x75=30.3687289847013x_{75} = 30.3687289847013
x76=92.1533845053006x_{76} = 92.1533845053006
x77=−98.4365698124802x_{77} = -98.4365698124802
x78=87.9645943005142x_{78} = 87.9645943005142
x79=32.4631240870945x_{79} = 32.4631240870945
x80=61.7846555205993x_{80} = 61.7846555205993
x81=109.955742875643x_{81} = 109.955742875643
x82=43.9822971502571x_{82} = 43.9822971502571
x83=−31.4159265358979x_{83} = -31.4159265358979
x84=−57.5958653158129x_{84} = -57.5958653158129
x85=56.5486677646163x_{85} = 56.5486677646163
x86=−81.6814089933346x_{86} = -81.6814089933346
x87=−63.8790506229925x_{87} = -63.8790506229925
x88=−4.18879020478639x_{88} = -4.18879020478639
x89=68.0678408277789x_{89} = 68.0678408277789
x90=26.1799387799149x_{90} = 26.1799387799149
x91=−59.6902604182061x_{91} = -59.6902604182061
x92=65.9734457253857x_{92} = 65.9734457253857
x93=76.4454212373516x_{93} = 76.4454212373516
x94=90.0589894029074x_{94} = 90.0589894029074
x95=19.8967534727354x_{95} = 19.8967534727354
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(4*x)*cos(x) + 2*sin(3*x) - cos(4*x)*sin(x).
(sin⁡(0⋅4)cos⁡(0)+2sin⁡(0⋅3))−sin⁡(0)cos⁡(0⋅4)\left(\sin{\left(0 \cdot 4 \right)} \cos{\left(0 \right)} + 2 \sin{\left(0 \cdot 3 \right)}\right) - \sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \cdot 4 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3sin⁡(x)sin⁡(4x)+3cos⁡(x)cos⁡(4x)+6cos⁡(3x)=03 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + 6 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π6x_{3} = - \frac{\pi}{6}
x4=π6x_{4} = \frac{\pi}{6}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
x6=5π6x_{6} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -5*pi     
(-----, -3)
   6       

 -pi     
(----, 3)
  2      

 -pi      
(----, -3)
  6       

 pi    
(--, 3)
 6     

 pi     
(--, -3)
 2      

 5*pi    
(----, 3)
  6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x3=−π2x_{3} = - \frac{\pi}{2}
x3=π6x_{3} = \frac{\pi}{6}
x3=5π6x_{3} = \frac{5 \pi}{6}
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−5π6]\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9(sin⁡(x)cos⁡(4x)−2sin⁡(3x)−sin⁡(4x)cos⁡(x))=09 \left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - 2 \sin{\left(3 x \right)} - \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x4=π3x_{4} = \frac{\pi}{3}
x5=2π3x_{5} = \frac{2 \pi}{3}
x6=πx_{6} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π3]\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
lim⁡x→∞((2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(4*x)*cos(x) + 2*sin(3*x) - cos(4*x)*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)=sin⁡(x)cos⁡(4x)−2sin⁡(3x)−sin⁡(4x)cos⁡(x)\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - 2 \sin{\left(3 x \right)} - \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
(2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x))−sin⁡(x)cos⁡(4x)=−sin⁡(x)cos⁡(4x)+2sin⁡(3x)+sin⁡(4x)cos⁡(x)\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + 2 \sin{\left(3 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(4*x)*cos(x)+2*sin(3*x)-cos(4*x)*sin(x)
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