Sr Examen

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cos(log(x))+sin(log(x))
Trazado el gráfico de la función/ cos(log(x))+sin(log(x))

Gráfico de la función y = cos(log(x))+sin(log(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(log(x)) + sin(log(x))
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$ 
f = sin(log(x)) + cos(log(x))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = e^{- \frac{\pi}{4}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 10.5507240741978$$
$$x_{2} = 244.151062854275$$
$$x_{3} = 5649.82470147715$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(log(x)) + sin(log(x)).
$$\sin{\left(\log{\left(0 \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{\pi}{4}}$$
Signos de extremos en los puntos:
  pi        
  --        
  4     ___ 
(e , \/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e^{\frac{\pi}{4}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{\pi}{4}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e^{\frac{\pi}{4}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{\pi}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{3 \pi}{2}}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e^{\frac{\pi}{2}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{\pi}{2}}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(log(x)) + sin(log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}$$
- No
$$\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = - \sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(log(x))+sin(log(x))
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