Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x^3)+x^3

Gráfico de la función y = cos(x^3)+x^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 3\    3
f(x) = cos\x / + x
f(x)=x3+cos⁡(x3)f{\left(x \right)} = x^{3} + \cos{\left(x^{3} \right)} 
f = x^3 + cos(x^3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3+cos⁡(x3)=0x^{3} + \cos{\left(x^{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−0.904131267817311x_{1} = -0.904131267817311
x2=−0.904131267817312x_{2} = -0.904131267817312
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x^3) + x^3.
03+cos⁡(03)0^{3} + \cos{\left(0^{3} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x2sin⁡(x3)+3x2=0- 3 x^{2} \sin{\left(x^{3} \right)} + 3 x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=223π32x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

  2/3 3 ____     
 2   *\/ pi   pi 
(-----------, --)
      2       2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3x(−3x3cos⁡(x3)−2sin⁡(x3)+2)=03 x \left(- 3 x^{3} \cos{\left(x^{3} \right)} - 2 \sin{\left(x^{3} \right)} + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13.8162502553147x_{1} = -13.8162502553147
x2=−19.8629826597982x_{2} = -19.8629826597982
x3=−2.00165316052822x_{3} = -2.00165316052822
x4=24.9814013902674x_{4} = 24.9814013902674
x5=−10.9463362370041x_{5} = -10.9463362370041
x6=7.80767428129636x_{6} = 7.80767428129636
x7=22.5242821926671x_{7} = 22.5242821926671
x8=−23.5558330415328x_{8} = -23.5558330415328
x9=78.959761488725x_{9} = 78.959761488725
x10=53.8924633561034x_{10} = 53.8924633561034
x11=12.8252352479075x_{11} = 12.8252352479075
x12=5.65299351478483x_{12} = 5.65299351478483
x13=−29.0946237781298x_{13} = -29.0946237781298
x14=−11.1099339298161x_{14} = -11.1099339298161
x15=−18.1859120509786x_{15} = -18.1859120509786
x16=57.9699199613674x_{16} = 57.9699199613674
x17=−32.4429108528955x_{17} = -32.4429108528955
x18=−2.86684169406652x_{18} = -2.86684169406652
x19=−20.4855884843072x_{19} = -20.4855884843072
x20=10.3066505570042x_{20} = 10.3066505570042
x21=43.9965328621044x_{21} = 43.9965328621044
x22=2.23172921350657x_{22} = 2.23172921350657
x23=17.1281863775263x_{23} = 17.1281863775263
x24=−71.2085542400838x_{24} = -71.2085542400838
x25=−7.85887301539581x_{25} = -7.85887301539581
x26=0x_{26} = 0
x27=−7.70319612690683x_{27} = -7.70319612690683
x28=26.2347110244685x_{28} = 26.2347110244685
x29=12.11852962775x_{29} = 12.11852962775
x30=28.7072260121112x_{30} = 28.7072260121112
x31=−7.52251488855417x_{31} = -7.52251488855417
x32=65.5553126781459x_{32} = 65.5553126781459
x33=0.753862922639039x_{33} = 0.753862922639039
x34=38.2608745475987x_{34} = 38.2608745475987
x35=6.16266719731955x_{35} = 6.16266719731955
x36=−45.9159563776645x_{36} = -45.9159563776645
x37=−26.5072637585943x_{37} = -26.5072637585943
x38=−92.0878108942386x_{38} = -92.0878108942386
x39=−5.74963698122473x_{39} = -5.74963698122473
x40=51.9261512118549x_{40} = 51.9261512118549
x41=−38.5737781283313x_{41} = -38.5737781283313
x42=−95.3549584299076x_{42} = -95.3549584299076
x43=−30.0732795240639x_{43} = -30.0732795240639
x44=−5.55292799671746x_{44} = -5.55292799671746
x45=60.0626397773265x_{45} = 60.0626397773265
x46=23.8521638885003x_{46} = 23.8521638885003
x47=1.70753486611974x_{47} = 1.70753486611974
x48=2.4179879310247x_{48} = 2.4179879310247
x49=52.3521938444457x_{49} = 52.3521938444457
x50=19.0958591543109x_{50} = 19.0958591543109
x51=−15.8459531586835x_{51} = -15.8459531586835
x52=−32.2114363030597x_{52} = -32.2114363030597
x53=8.45655612395101x_{53} = 8.45655612395101
x54=−76.2520964918395x_{54} = -76.2520964918395
x55=50.3393974944506x_{55} = 50.3393974944506
x56=−9.8316248274502x_{56} = -9.8316248274502
x57=21.0015009804768x_{57} = 21.0015009804768
x58=71.8197583574531x_{58} = 71.8197583574531
x59=100.114601026461x_{59} = 100.114601026461
x60=28.0798631017678x_{60} = 28.0798631017678
x61=72.3817771579178x_{61} = 72.3817771579178

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[72.3817771579178,∞)\left[72.3817771579178, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−95.3549584299076]\left(-\infty, -95.3549584299076\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3+cos⁡(x3))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + \cos{\left(x^{3} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3+cos⁡(x3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \cos{\left(x^{3} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x^3) + x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3+cos⁡(x3)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + \cos{\left(x^{3} \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x3+cos⁡(x3)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \cos{\left(x^{3} \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3+cos⁡(x3)=−x3+cos⁡(x3)x^{3} + \cos{\left(x^{3} \right)} = - x^{3} + \cos{\left(x^{3} \right)}
- No
x3+cos⁡(x3)=x3−cos⁡(x3)x^{3} + \cos{\left(x^{3} \right)} = x^{3} - \cos{\left(x^{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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