Sr Examen

Otras calculadoras

cos(x)^(2)+cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)^(2)+cos(x)

Gráfico de la función y = cos(x)^(2)+cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2            
f(x) = cos (x) + cos(x)
f(x)=cos⁡2(x)+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} 
f = cos(x)^2 + cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡2(x)+cos⁡(x)=0\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=πx_{2} = \pi
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=73.8274273593601x_{1} = 73.8274273593601
x2=−3.1415927960834x_{2} = -3.1415927960834
x3=−10.9955742875643x_{3} = -10.9955742875643
x4=70.6858347057703x_{4} = 70.6858347057703
x5=−89.5353906273091x_{5} = -89.5353906273091
x6=91.1061864055267x_{6} = 91.1061864055267
x7=−54.9778714378214x_{7} = -54.9778714378214
x8=42.4115008234622x_{8} = 42.4115008234622
x9=−15.7079632964512x_{9} = -15.7079632964512
x10=−64.4026493985908x_{10} = -64.4026493985908
x11=28.2743338652235x_{11} = 28.2743338652235
x12=14.1371669411541x_{12} = 14.1371669411541
x13=−1.5707963267949x_{13} = -1.5707963267949
x14=21.9911485851865x_{14} = 21.9911485851865
x15=10.9955742875643x_{15} = 10.9955742875643
x16=9.42477812420882x_{16} = 9.42477812420882
x17=−48.6946861306418x_{17} = -48.6946861306418
x18=−78.5398161632939x_{18} = -78.5398161632939
x19=54.9778714378214x_{19} = 54.9778714378214
x20=−67.5442420521806x_{20} = -67.5442420521806
x21=3.14159255416701x_{21} = 3.14159255416701
x22=47.1238905156601x_{22} = 47.1238905156601
x23=−65.9734457651102x_{23} = -65.9734457651102
x24=−114.668131856027x_{24} = -114.668131856027
x25=−20.4203522483337x_{25} = -20.4203522483337
x26=−80.1106126665397x_{26} = -80.1106126665397
x27=65.9734457528109x_{27} = 65.9734457528109
x28=−21.9911485864616x_{28} = -21.9911485864616
x29=36.1283155162826x_{29} = 36.1283155162826
x30=32.9867228626928x_{30} = 32.9867228626928
x31=39.2699081698724x_{31} = 39.2699081698724
x32=95.8185759344887x_{32} = 95.8185759344887
x33=45.553093477052x_{33} = 45.553093477052
x34=−53.40707527053x_{34} = -53.40707527053
x35=84.8230014843127x_{35} = 84.8230014843127
x36=−47.1238899312794x_{36} = -47.1238899312794
x37=78.5398161960398x_{37} = 78.5398161960398
x38=−97.3893724252203x_{38} = -97.3893724252203
x39=−29.845130209103x_{39} = -29.845130209103
x40=−9.42477809807754x_{40} = -9.42477809807754
x41=23.5619449019235x_{41} = 23.5619449019235
x42=20.4203522483337x_{42} = 20.4203522483337
x43=53.407075264892x_{43} = 53.407075264892
x44=3.14159237966678x_{44} = 3.14159237966678
x45=72.2566310277204x_{45} = 72.2566310277204
x46=−32.9867228626928x_{46} = -32.9867228626928
x47=−72.2566308831918x_{47} = -72.2566308831918
x48=91.1061877275391x_{48} = 91.1061877275391
x49=7.85398163397448x_{49} = 7.85398163397448
x50=−17.2787595947439x_{50} = -17.2787595947439
x51=98.9601685880785x_{51} = 98.9601685880785
x52=59.6902605835311x_{52} = 59.6902605835311
x53=−91.1061870617513x_{53} = -91.1061870617513
x54=97.3893724028077x_{54} = 97.3893724028077
x55=26.7035375555132x_{55} = 26.7035375555132
x56=64.4026493985908x_{56} = 64.4026493985908
x57=15.7079634283821x_{57} = 15.7079634283821
x58=−28.2743337271955x_{58} = -28.2743337271955
x59=61.261056745001x_{59} = 61.261056745001
x60=−14.1371669411541x_{60} = -14.1371669411541
x61=17.2787595947439x_{61} = 17.2787595947439
x62=−51.8362787842316x_{62} = -51.8362787842316
x63=−59.6902604574727x_{63} = -59.6902604574727
x64=58.1194640914112x_{64} = 58.1194640914112
x65=−4.71238898038469x_{65} = -4.71238898038469
x66=−21.9911485825594x_{66} = -21.9911485825594
x67=−70.6858347057703x_{67} = -70.6858347057703
x68=48.6946861306418x_{68} = 48.6946861306418
x69=−95.8185759344887x_{69} = -95.8185759344887
x70=34.5575190401242x_{70} = 34.5575190401242
x71=−36.1283155162826x_{71} = -36.1283155162826
x72=86.3937979737193x_{72} = 86.3937979737193
x73=83.2522053201295x_{73} = 83.2522053201295
x74=−23.5619449019235x_{74} = -23.5619449019235
x75=−26.7035375555132x_{75} = -26.7035375555132
x76=−61.261056745001x_{76} = -61.261056745001
x77=−76.9690200129499x_{77} = -76.9690200129499
x78=−92.6769832808989x_{78} = -92.6769832808989
x79=−98.9601685880785x_{79} = -98.9601685880785
x80=−40.8407049448264x_{80} = -40.8407049448264
x81=−7.85398163397448x_{81} = -7.85398163397448
x82=67.5442420521806x_{82} = 67.5442420521806
x83=40.8407043427125x_{83} = 40.8407043427125
x84=80.1106126665397x_{84} = 80.1106126665397
x85=−84.8230020186947x_{85} = -84.8230020186947
x86=29.845130209103x_{86} = 29.845130209103
x87=−73.8274273593601x_{87} = -73.8274273593601
x88=−34.5575190186597x_{88} = -34.5575190186597
x89=84.8230022546705x_{89} = 84.8230022546705
x90=51.8362787842316x_{90} = 51.8362787842316
x91=−9.42477811540647x_{91} = -9.42477811540647
x92=−78.5398161850973x_{92} = -78.5398161850973
x93=−45.553093477052x_{93} = -45.553093477052
x94=76.9690200129499x_{94} = 76.9690200129499
x95=47.1238891910616x_{95} = 47.1238891910616
x96=−58.1194640914112x_{96} = -58.1194640914112
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^2 + cos(x).
cos⁡2(0)+cos⁡(0)\cos^{2}{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=2π3x_{3} = \frac{2 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

 -2*pi       
(-----, -1/4)
   3         

 2*pi       
(----, -1/4)
  3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−2π3,0]∪[2π3,∞)\left[- \frac{2 \pi}{3}, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2π3]∪[0,2π3]\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡2(x)−2cos⁡2(x)−cos⁡(x)=02 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(6−33)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}
x2=2atan⁡(6−33)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}
x3=−2atan⁡(33+6)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}
x4=2atan⁡(33+6)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2atan⁡(33+6),−2atan⁡(6−33)]∪[2atan⁡(6−33),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(33+6)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡2(x)+cos⁡(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡2(x)+cos⁡(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^2 + cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡2(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡2(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡2(x)+cos⁡(x)=cos⁡2(x)+cos⁡(x)\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- Sí
cos⁡2(x)+cos⁡(x)=−cos⁡2(x)−cos⁡(x)\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)^(2)+cos(x)
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