Sr Examen

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cos[x/3]
Trazado el gráfico de la función/ cos[x/3]

Gráfico de la función y = cos[x/3]

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\
f(x) = cos|-|
          \3/
f(x)=cos⁡(x3)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} 
f = cos(x/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x3)=0\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
x2=9π2x_{2} = \frac{9 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−4867.89781673738x_{1} = -4867.89781673738
x2=32.9867228626928x_{2} = 32.9867228626928
x3=4.71238898038469x_{3} = 4.71238898038469
x4=70.6858347057703x_{4} = 70.6858347057703
x5=−23.5619449019235x_{5} = -23.5619449019235
x6=−89.5353906273091x_{6} = -89.5353906273091
x7=−42.4115008234622x_{7} = -42.4115008234622
x8=−61.261056745001x_{8} = -61.261056745001
x9=61.261056745001x_{9} = 61.261056745001
x10=−98.9601685880785x_{10} = -98.9601685880785
x11=42.4115008234622x_{11} = 42.4115008234622
x12=80.1106126665397x_{12} = 80.1106126665397
x13=−14.1371669411541x_{13} = -14.1371669411541
x14=14.1371669411541x_{14} = 14.1371669411541
x15=−51.8362787842316x_{15} = -51.8362787842316
x16=2653.07499595658x_{16} = 2653.07499595658
x17=23.5619449019235x_{17} = 23.5619449019235
x18=51.8362787842316x_{18} = 51.8362787842316
x19=−249.756615960389x_{19} = -249.756615960389
x20=−4.71238898038469x_{20} = -4.71238898038469
x21=−70.6858347057703x_{21} = -70.6858347057703
x22=155.508836352695x_{22} = 155.508836352695
x23=89.5353906273091x_{23} = 89.5353906273091
x24=−32.9867228626928x_{24} = -32.9867228626928
x25=5659.57916544201x_{25} = 5659.57916544201
x26=−80.1106126665397x_{26} = -80.1106126665397
x27=98.9601685880785x_{27} = 98.9601685880785
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x/3).
cos⁡(03)\cos{\left(\frac{0}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x3)3=0- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(3*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3πx_{1} = 3 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[3π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,3π]\left[0, 3 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x3)9=0- \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
x2=9π2x_{2} = \frac{9 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3π2,9π2]\left[\frac{3 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,3π2]∪[9π2,∞)\left(-\infty, \frac{3 \pi}{2}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x3)=cos⁡(x3)\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}
- No
cos⁡(x3)=−cos⁡(x3)\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos[x/3]
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