Sr Examen

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sin(0,5x+pi/4)+0,5
Trazado el gráfico de la función/ sin(0,5x+pi/4)+0,5

Gráfico de la función y = sin(0,5x+pi/4)+0,5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x   pi\   1
f(x) = sin|- + --| + -
          \2   4 /   2
f(x)=sin⁡(x2+π4)+12f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} + \frac{1}{2} 
f = sin(x/2 + pi/4) + 1/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x2+π4)+12=0\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} + \frac{1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=11π6x_{2} = \frac{11 \pi}{6}
Solución numérica
x1=−94.7713783832921x_{1} = -94.7713783832921
x2=5.75958653158129x_{2} = 5.75958653158129
x3=−69.6386371545737x_{3} = -69.6386371545737
x4=−90.5825881785057x_{4} = -90.5825881785057
x5=−31.9395253114962x_{5} = -31.9395253114962
x6=−107.337748997651x_{6} = -107.337748997651
x7=30.8923277602996x_{7} = 30.8923277602996
x8=−15.1843644923507x_{8} = -15.1843644923507
x9=−82.2050077689329x_{9} = -82.2050077689329
x10=60.2138591938044x_{10} = 60.2138591938044
x11=43.4586983746588x_{11} = 43.4586983746588
x12=93.7241808320955x_{12} = 93.7241808320955
x13=68.5914396033772x_{13} = 68.5914396033772
x14=18.3259571459405x_{14} = 18.3259571459405
x15=−195.302343298165x_{15} = -195.302343298165
x16=9.94837673636768x_{16} = 9.94837673636768
x17=−65.4498469497874x_{17} = -65.4498469497874
x18=−57.0722665402146x_{18} = -57.0722665402146
x19=22.5147473507269x_{19} = 22.5147473507269
x20=−27.7507351067098x_{20} = -27.7507351067098
x21=−44.5058959258554x_{21} = -44.5058959258554
x22=−78.0162175641465x_{22} = -78.0162175641465
x23=−253.945406165175x_{23} = -253.945406165175
x24=−40.317105721069x_{24} = -40.317105721069
x25=613.134166225608x_{25} = 613.134166225608
x26=56.025068989018x_{26} = 56.025068989018
x27=−52.8834763354282x_{27} = -52.8834763354282
x28=−6.80678408277789x_{28} = -6.80678408277789
x29=72.7802298081635x_{29} = 72.7802298081635
x30=81.1578102177363x_{30} = 81.1578102177363
x31=97.9129710368819x_{31} = 97.9129710368819
x32=−2.61799387799149x_{32} = -2.61799387799149
x33=85.3466004225227x_{33} = 85.3466004225227
x34=−19.3731546971371x_{34} = -19.3731546971371
x35=35.081117965086x_{35} = 35.081117965086
x36=47.6474885794452x_{36} = 47.6474885794452
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x/2 + pi/4) + 1/2.
12+sin⁡(02+π4)\frac{1}{2} + \sin{\left(\frac{0}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=12+22f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
Punto:
(0, 1/2 + sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x2+π4)2=0\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=5π2x_{2} = \frac{5 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi  1      /pi   pi\ 
(--, - + sin|-- + --|)
 2   2      \4    4 / 

 5*pi  1      /pi   pi\ 
(----, - - sin|-- + --|)
  2    2      \4    4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π2x_{1} = \frac{5 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[5π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,5π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(2x+π4)4=0- \frac{\sin{\left(\frac{2 x + \pi}{4} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π2,3π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2+π4)+12)=⟨−12,32⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} + \frac{1}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,32⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x2+π4)+12)=⟨−12,32⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} + \frac{1}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,32⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x/2 + pi/4) + 1/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2+π4)+12x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} + \frac{1}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x2+π4)+12x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} + \frac{1}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x2+π4)+12=12−sin⁡(x2−π4)\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}
- No
sin⁡(x2+π4)+12=sin⁡(x2−π4)−12\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} + \frac{1}{2} = \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} - \frac{1}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(0,5x+pi/4)+0,5
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