Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cosx-(cosx)^2

Gráfico de la función y = cosx-(cosx)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   2   
f(x) = cos(x) - cos (x)
f(x)=−cos⁡2(x)+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} 
f = -cos(x)^2 + cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−cos⁡2(x)+cos⁡(x)=0- \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
x4=2πx_{4} = 2 \pi
Solución numérica
x1=51.8362787842316x_{1} = 51.8362787842316
x2=−36.1283155162826x_{2} = -36.1283155162826
x3=4.71238898038469x_{3} = 4.71238898038469
x4=69.1150379836781x_{4} = 69.1150379836781
x5=89.5353906273091x_{5} = 89.5353906273091
x6=12.5663704623094x_{6} = 12.5663704623094
x7=−18.8495562409837x_{7} = -18.8495562409837
x8=25.1327418085792x_{8} = 25.1327418085792
x9=36.1283155162826x_{9} = 36.1283155162826
x10=75.3982238342404x_{10} = 75.3982238342404
x11=69.1150385134118x_{11} = 69.1150385134118
x12=−4.71238898038469x_{12} = -4.71238898038469
x13=−42.4115008234622x_{13} = -42.4115008234622
x14=18.8495557729205x_{14} = 18.8495557729205
x15=−62.8318534973011x_{15} = -62.8318534973011
x16=−69.115038497193x_{16} = -69.115038497193
x17=6.28318528429551x_{17} = 6.28318528429551
x18=−80.1106126665397x_{18} = -80.1106126665397
x19=7.85398163397448x_{19} = 7.85398163397448
x20=39.2699081698724x_{20} = 39.2699081698724
x21=−29.845130209103x_{21} = -29.845130209103
x22=−43.9822971746199x_{22} = -43.9822971746199
x23=76.9690200129499x_{23} = 76.9690200129499
x24=−23.5619449019235x_{24} = -23.5619449019235
x25=62.8318529132021x_{25} = 62.8318529132021
x26=−75.3982238479311x_{26} = -75.3982238479311
x27=−17.2787595947439x_{27} = -17.2787595947439
x28=43.9822971693881x_{28} = 43.9822971693881
x29=14.1371669411541x_{29} = 14.1371669411541
x30=−389.557489134924x_{30} = -389.557489134924
x31=−100.530964736174x_{31} = -100.530964736174
x32=58.1194640914112x_{32} = 58.1194640914112
x33=61.261056745001x_{33} = 61.261056745001
x34=−51.8362787842316x_{34} = -51.8362787842316
x35=−39.2699081698724x_{35} = -39.2699081698724
x36=80.1106126665397x_{36} = 80.1106126665397
x37=−92.6769832808989x_{37} = -92.6769832808989
x38=−6.28318514935383x_{38} = -6.28318514935383
x39=64.4026493985908x_{39} = 64.4026493985908
x40=−20.4203522483337x_{40} = -20.4203522483337
x41=−98.9601685880785x_{41} = -98.9601685880785
x42=25.1327408583892x_{42} = 25.1327408583892
x43=0x_{43} = 0
x44=−58.1194640914112x_{44} = -58.1194640914112
x45=−50.2654823051418x_{45} = -50.2654823051418
x46=86.3937979737193x_{46} = 86.3937979737193
x47=−54.9778714378214x_{47} = -54.9778714378214
x48=10.9955742875643x_{48} = 10.9955742875643
x49=−14.1371669411541x_{49} = -14.1371669411541
x50=−48.6946861306418x_{50} = -48.6946861306418
x51=−31.4159266930206x_{51} = -31.4159266930206
x52=−26.7035375555132x_{52} = -26.7035375555132
x53=26.7035375555132x_{53} = 26.7035375555132
x54=23.5619449019235x_{54} = 23.5619449019235
x55=−7.85398163397448x_{55} = -7.85398163397448
x56=−76.9690200129499x_{56} = -76.9690200129499
x57=−56.5486675907774x_{57} = -56.5486675907774
x58=45.553093477052x_{58} = 45.553093477052
x59=20.4203522483337x_{59} = 20.4203522483337
x60=−37.6991118770355x_{60} = -37.6991118770355
x61=−94.2477794613449x_{61} = -94.2477794613449
x62=100.530964774136x_{62} = 100.530964774136
x63=−67.5442420521806x_{63} = -67.5442420521806
x64=−25.1327413641924x_{64} = -25.1327413641924
x65=73.8274273593601x_{65} = 73.8274273593601
x66=−87.964594358935x_{66} = -87.964594358935
x67=56.5486676180351x_{67} = 56.5486676180351
x68=17.2787595947439x_{68} = 17.2787595947439
x69=−10.9955742875643x_{69} = -10.9955742875643
x70=−95.8185759344887x_{70} = -95.8185759344887
x71=42.4115008234622x_{71} = 42.4115008234622
x72=95.8185759344887x_{72} = 95.8185759344887
x73=29.845130209103x_{73} = 29.845130209103
x74=−73.8274273593601x_{74} = -73.8274273593601
x75=48.6946861306418x_{75} = 48.6946861306418
x76=70.6858347057703x_{76} = 70.6858347057703
x77=83.2522053201295x_{77} = 83.2522053201295
x78=−89.5353906273091x_{78} = -89.5353906273091
x79=50.2654824463558x_{79} = 50.2654824463558
x80=32.9867228626928x_{80} = 32.9867228626928
x81=−81.6814090377756x_{81} = -81.6814090377756
x82=−32.9867228626928x_{82} = -32.9867228626928
x83=−45.553093477052x_{83} = -45.553093477052
x84=−1.5707963267949x_{84} = -1.5707963267949
x85=−70.6858347057703x_{85} = -70.6858347057703
x86=37.6991120060109x_{86} = 37.6991120060109
x87=−83.2522053201295x_{87} = -83.2522053201295
x88=−86.3937979737193x_{88} = -86.3937979737193
x89=98.9601685880785x_{89} = 98.9601685880785
x90=94.2477796093526x_{90} = 94.2477796093526
x91=87.9645943356049x_{91} = 87.9645943356049
x92=92.6769832808989x_{92} = 92.6769832808989
x93=54.9778714378214x_{93} = 54.9778714378214
x94=−12.5663704469816x_{94} = -12.5663704469816
x95=1.5707963267949x_{95} = 1.5707963267949
x96=31.4159266948554x_{96} = 31.4159266948554
x97=81.6814091609407x_{97} = 81.6814091609407
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) - cos(x)^2.
−cos⁡2(0)+cos⁡(0)- \cos^{2}{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π3x_{2} = - \frac{\pi}{3}
x3=π3x_{3} = \frac{\pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi       
(----, 1/4)
  3        

 pi      
(--, 1/4)
 3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π3]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π3,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡2(x)+2cos⁡2(x)−cos⁡(x)=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(36−333)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}
x2=2atan⁡(36−333)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}
x3=−2atan⁡(333+63)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}
x4=2atan⁡(333+63)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(333+63),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(36−333)]∪[2atan⁡(36−333),2atan⁡(333+63)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−cos⁡2(x)+cos⁡(x))=⟨−2,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,1⟩y = \left\langle -2, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(−cos⁡2(x)+cos⁡(x))=⟨−2,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,1⟩y = \left\langle -2, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) - cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−cos⁡2(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−cos⁡2(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−cos⁡2(x)+cos⁡(x)=−cos⁡2(x)+cos⁡(x)- \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- Sí
−cos⁡2(x)+cos⁡(x)=cos⁡2(x)−cos⁡(x)- \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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