Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
-
Expresiones idénticas
- cosx/(x^ dos)
- coseno de x dividir por (x al cuadrado )
- coseno de x dividir por (x en el grado dos)
- cosx/(x2)
- cosx/x2
- cosx/(x²)
- cosx/(x en el grado 2)
- cosx/x^2
- cosx dividir por (x^2)
-
Expresiones con funciones
- cosx
- cosx-(cosx)^2
- cosx+2x^(2)+x
- cosx*cos(2x)
- cosx/(1-2sinx)
- cosx/2+1/2
Gráfico de la función y = cosx/(x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
cos(x)
f(x) = ------
2
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
f = cos(x)/x^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 14.1371669411541$$
$$x_{2} = 73.8274273593601$$
$$x_{3} = -92.6769832808989$$
$$x_{4} = -48.6946861306418$$
$$x_{5} = 186.924762888593$$
$$x_{6} = 89.5353906273091$$
$$x_{7} = -23.5619449019235$$
$$x_{8} = -86.3937979737193$$
$$x_{9} = 39.2699081698724$$
$$x_{10} = -17.2787595947439$$
$$x_{11} = 20.4203522483337$$
$$x_{12} = -26.7035375555132$$
$$x_{13} = 61.261056745001$$
$$x_{14} = 42.4115008234622$$
$$x_{15} = -64.4026493985908$$
$$x_{16} = -83.2522053201295$$
$$x_{17} = -4.71238898038469$$
$$x_{18} = -42.4115008234622$$
$$x_{19} = -29.845130209103$$
$$x_{20} = 17.2787595947439$$
$$x_{21} = 51.8362787842316$$
$$x_{22} = 1.5707963267949$$
$$x_{23} = -67.5442420521806$$
$$x_{24} = -36.1283155162826$$
$$x_{25} = 45.553093477052$$
$$x_{26} = -80.1106126665397$$
$$x_{27} = 86.3937979737193$$
$$x_{28} = -73.8274273593601$$
$$x_{29} = 32.9867228626928$$
$$x_{30} = 64.4026493985908$$
$$x_{31} = -1.5707963267949$$
$$x_{32} = 95.8185759344887$$
$$x_{33} = -20.4203522483337$$
$$x_{34} = -10.9955742875643$$
$$x_{35} = -98.9601685880785$$
$$x_{36} = 92.6769832808989$$
$$x_{37} = 36.1283155162826$$
$$x_{38} = -32.9867228626928$$
$$x_{39} = -39.2699081698724$$
$$x_{40} = -58.1194640914112$$
$$x_{41} = -61.261056745001$$
$$x_{42} = 4.71238898038469$$
$$x_{43} = -76.9690200129499$$
$$x_{44} = -95.8185759344887$$
$$x_{45} = 48.6946861306418$$
$$x_{46} = -51.8362787842316$$
$$x_{47} = 23.5619449019235$$
$$x_{48} = 67.5442420521806$$
$$x_{49} = -14.1371669411541$$
$$x_{50} = 76.9690200129499$$
$$x_{51} = 98.9601685880785$$
$$x_{52} = 80.1106126665397$$
$$x_{53} = -7.85398163397448$$
$$x_{54} = 7.85398163397448$$
$$x_{55} = 83.2522053201295$$
$$x_{56} = 58.1194640914112$$
$$x_{57} = -45.553093477052$$
$$x_{58} = 70.6858347057703$$
$$x_{59} = 54.9778714378214$$
$$x_{60} = 26.7035375555132$$
$$x_{61} = -89.5353906273091$$
$$x_{62} = 10.9955742875643$$
$$x_{63} = -70.6858347057703$$
$$x_{64} = -54.9778714378214$$
$$x_{65} = 29.845130209103$$
$$x_{66} = 108.384946548848$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 14.1371669411541$$
$$x_{2} = 73.8274273593601$$
$$x_{3} = -92.6769832808989$$
$$x_{4} = -48.6946861306418$$
$$x_{5} = 186.924762888593$$
$$x_{6} = 89.5353906273091$$
$$x_{7} = -23.5619449019235$$
$$x_{8} = -86.3937979737193$$
$$x_{9} = 39.2699081698724$$
$$x_{10} = -17.2787595947439$$
$$x_{11} = 20.4203522483337$$
$$x_{12} = -26.7035375555132$$
$$x_{13} = 61.261056745001$$
$$x_{14} = 42.4115008234622$$
$$x_{15} = -64.4026493985908$$
$$x_{16} = -83.2522053201295$$
$$x_{17} = -4.71238898038469$$
$$x_{18} = -42.4115008234622$$
$$x_{19} = -29.845130209103$$
$$x_{20} = 17.2787595947439$$
$$x_{21} = 51.8362787842316$$
$$x_{22} = 1.5707963267949$$
$$x_{23} = -67.5442420521806$$
$$x_{24} = -36.1283155162826$$
$$x_{25} = 45.553093477052$$
$$x_{26} = -80.1106126665397$$
$$x_{27} = 86.3937979737193$$
$$x_{28} = -73.8274273593601$$
$$x_{29} = 32.9867228626928$$
$$x_{30} = 64.4026493985908$$
$$x_{31} = -1.5707963267949$$
$$x_{32} = 95.8185759344887$$
$$x_{33} = -20.4203522483337$$
$$x_{34} = -10.9955742875643$$
$$x_{35} = -98.9601685880785$$
$$x_{36} = 92.6769832808989$$
$$x_{37} = 36.1283155162826$$
$$x_{38} = -32.9867228626928$$
$$x_{39} = -39.2699081698724$$
$$x_{40} = -58.1194640914112$$
$$x_{41} = -61.261056745001$$
$$x_{42} = 4.71238898038469$$
$$x_{43} = -76.9690200129499$$
$$x_{44} = -95.8185759344887$$
$$x_{45} = 48.6946861306418$$
$$x_{46} = -51.8362787842316$$
$$x_{47} = 23.5619449019235$$
$$x_{48} = 67.5442420521806$$
$$x_{49} = -14.1371669411541$$
$$x_{50} = 76.9690200129499$$
$$x_{51} = 98.9601685880785$$
$$x_{52} = 80.1106126665397$$
$$x_{53} = -7.85398163397448$$
$$x_{54} = 7.85398163397448$$
$$x_{55} = 83.2522053201295$$
$$x_{56} = 58.1194640914112$$
$$x_{57} = -45.553093477052$$
$$x_{58} = 70.6858347057703$$
$$x_{59} = 54.9778714378214$$
$$x_{60} = 26.7035375555132$$
$$x_{61} = -89.5353906273091$$
$$x_{62} = 10.9955742875643$$
$$x_{63} = -70.6858347057703$$
$$x_{64} = -54.9778714378214$$
$$x_{65} = 29.845130209103$$
$$x_{66} = 108.384946548848$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 9.21096438740149$$
$$x_{2} = 81.6569211705466$$
$$x_{3} = -78.5143487963623$$
$$x_{4} = -37.6460352959305$$
$$x_{5} = -15.5802941824244$$
$$x_{6} = -84.7994209518635$$
$$x_{7} = -91.0842327848165$$
$$x_{8} = 97.3688346960149$$
$$x_{9} = 25.053079662454$$
$$x_{10} = -2.45871417599962$$
$$x_{11} = -72.2289483771681$$
$$x_{12} = 34.4996123350132$$
$$x_{13} = -59.6567478435559$$
$$x_{14} = 31.3522215217643$$
$$x_{15} = -9.21096438740149$$
$$x_{16} = 91.0842327848165$$
$$x_{17} = 75.3716947511882$$
$$x_{18} = -69.0860970774096$$
$$x_{19} = -5.95939190757933$$
$$x_{20} = -12.4065403639626$$
$$x_{21} = 94.2265573558031$$
$$x_{22} = -103.653264863525$$
$$x_{23} = 37.6460352959305$$
$$x_{24} = -34.4996123350132$$
$$x_{25} = 69.0860970774096$$
$$x_{26} = -56.5132926241755$$
$$x_{27} = 12.4065403639626$$
$$x_{28} = -75.3716947511882$$
$$x_{29} = 78.5143487963623$$
$$x_{30} = 56.5132926241755$$
$$x_{31} = -109.93755273626$$
$$x_{32} = -21.9000773156394$$
$$x_{33} = 21.9000773156394$$
$$x_{34} = 87.9418559209576$$
$$x_{35} = -87.9418559209576$$
$$x_{36} = -43.9368086315937$$
$$x_{37} = 50.2256832197934$$
$$x_{38} = -81.6569211705466$$
$$x_{39} = 40.7917141624847$$
$$x_{40} = -31.3522215217643$$
$$x_{41} = 53.3696181339615$$
$$x_{42} = -62.8000167068325$$
$$x_{43} = -100.511069234565$$
$$x_{44} = -97.3688346960149$$
$$x_{45} = -53.3696181339615$$
$$x_{46} = -65.9431258539286$$
$$x_{47} = 18.7432530945386$$
$$x_{48} = -47.0814357397523$$
$$x_{49} = 15.5802941824244$$
$$x_{50} = 100.511069234565$$
$$x_{51} = 43.9368086315937$$
$$x_{52} = 65.9431258539286$$
$$x_{53} = -18.7432530945386$$
$$x_{54} = 135.073678452493$$
$$x_{55} = -28.2035393053095$$
$$x_{56} = 62.8000167068325$$
$$x_{57} = 2.45871417599962$$
$$x_{58} = -25.053079662454$$
$$x_{59} = -94.2265573558031$$
$$x_{60} = 84.7994209518635$$
$$x_{61} = 72.2289483771681$$
$$x_{62} = -40.7917141624847$$
$$x_{63} = 47.0814357397523$$
$$x_{64} = 59.6567478435559$$
$$x_{65} = 28.2035393053095$$
$$x_{66} = -50.2256832197934$$
$$x_{67} = 5.95939190757933$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 9.21096438740149$$
$$x_{2} = -78.5143487963623$$
$$x_{3} = -15.5802941824244$$
$$x_{4} = -84.7994209518635$$
$$x_{5} = -91.0842327848165$$
$$x_{6} = 97.3688346960149$$
$$x_{7} = -2.45871417599962$$
$$x_{8} = -72.2289483771681$$
$$x_{9} = 34.4996123350132$$
$$x_{10} = -59.6567478435559$$
$$x_{11} = -9.21096438740149$$
$$x_{12} = 91.0842327848165$$
$$x_{13} = -103.653264863525$$
$$x_{14} = -34.4996123350132$$
$$x_{15} = 78.5143487963623$$
$$x_{16} = -109.93755273626$$
$$x_{17} = -21.9000773156394$$
$$x_{18} = 21.9000773156394$$
$$x_{19} = 40.7917141624847$$
$$x_{20} = 53.3696181339615$$
$$x_{21} = -97.3688346960149$$
$$x_{22} = -53.3696181339615$$
$$x_{23} = -65.9431258539286$$
$$x_{24} = -47.0814357397523$$
$$x_{25} = 15.5802941824244$$
$$x_{26} = 65.9431258539286$$
$$x_{27} = 135.073678452493$$
$$x_{28} = -28.2035393053095$$
$$x_{29} = 2.45871417599962$$
$$x_{30} = 84.7994209518635$$
$$x_{31} = 72.2289483771681$$
$$x_{32} = -40.7917141624847$$
$$x_{33} = 47.0814357397523$$
$$x_{34} = 59.6567478435559$$
$$x_{35} = 28.2035393053095$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{35} = 81.6569211705466$$
$$x_{35} = -37.6460352959305$$
$$x_{35} = 25.053079662454$$
$$x_{35} = 31.3522215217643$$
$$x_{35} = 75.3716947511882$$
$$x_{35} = -69.0860970774096$$
$$x_{35} = -5.95939190757933$$
$$x_{35} = -12.4065403639626$$
$$x_{35} = 94.2265573558031$$
$$x_{35} = 37.6460352959305$$
$$x_{35} = 69.0860970774096$$
$$x_{35} = -56.5132926241755$$
$$x_{35} = 12.4065403639626$$
$$x_{35} = -75.3716947511882$$
$$x_{35} = 56.5132926241755$$
$$x_{35} = 87.9418559209576$$
$$x_{35} = -87.9418559209576$$
$$x_{35} = -43.9368086315937$$
$$x_{35} = 50.2256832197934$$
$$x_{35} = -81.6569211705466$$
$$x_{35} = -31.3522215217643$$
$$x_{35} = -62.8000167068325$$
$$x_{35} = -100.511069234565$$
$$x_{35} = 18.7432530945386$$
$$x_{35} = 100.511069234565$$
$$x_{35} = 43.9368086315937$$
$$x_{35} = -18.7432530945386$$
$$x_{35} = 62.8000167068325$$
$$x_{35} = -25.053079662454$$
$$x_{35} = -94.2265573558031$$
$$x_{35} = -50.2256832197934$$
$$x_{35} = 5.95939190757933$$
Decrece en los intervalos
$$\left[135.073678452493, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -109.93755273626\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 9.21096438740149$$
$$x_{2} = 81.6569211705466$$
$$x_{3} = -78.5143487963623$$
$$x_{4} = -37.6460352959305$$
$$x_{5} = -15.5802941824244$$
$$x_{6} = -84.7994209518635$$
$$x_{7} = -91.0842327848165$$
$$x_{8} = 97.3688346960149$$
$$x_{9} = 25.053079662454$$
$$x_{10} = -2.45871417599962$$
$$x_{11} = -72.2289483771681$$
$$x_{12} = 34.4996123350132$$
$$x_{13} = -59.6567478435559$$
$$x_{14} = 31.3522215217643$$
$$x_{15} = -9.21096438740149$$
$$x_{16} = 91.0842327848165$$
$$x_{17} = 75.3716947511882$$
$$x_{18} = -69.0860970774096$$
$$x_{19} = -5.95939190757933$$
$$x_{20} = -12.4065403639626$$
$$x_{21} = 94.2265573558031$$
$$x_{22} = -103.653264863525$$
$$x_{23} = 37.6460352959305$$
$$x_{24} = -34.4996123350132$$
$$x_{25} = 69.0860970774096$$
$$x_{26} = -56.5132926241755$$
$$x_{27} = 12.4065403639626$$
$$x_{28} = -75.3716947511882$$
$$x_{29} = 78.5143487963623$$
$$x_{30} = 56.5132926241755$$
$$x_{31} = -109.93755273626$$
$$x_{32} = -21.9000773156394$$
$$x_{33} = 21.9000773156394$$
$$x_{34} = 87.9418559209576$$
$$x_{35} = -87.9418559209576$$
$$x_{36} = -43.9368086315937$$
$$x_{37} = 50.2256832197934$$
$$x_{38} = -81.6569211705466$$
$$x_{39} = 40.7917141624847$$
$$x_{40} = -31.3522215217643$$
$$x_{41} = 53.3696181339615$$
$$x_{42} = -62.8000167068325$$
$$x_{43} = -100.511069234565$$
$$x_{44} = -97.3688346960149$$
$$x_{45} = -53.3696181339615$$
$$x_{46} = -65.9431258539286$$
$$x_{47} = 18.7432530945386$$
$$x_{48} = -47.0814357397523$$
$$x_{49} = 15.5802941824244$$
$$x_{50} = 100.511069234565$$
$$x_{51} = 43.9368086315937$$
$$x_{52} = 65.9431258539286$$
$$x_{53} = -18.7432530945386$$
$$x_{54} = 135.073678452493$$
$$x_{55} = -28.2035393053095$$
$$x_{56} = 62.8000167068325$$
$$x_{57} = 2.45871417599962$$
$$x_{58} = -25.053079662454$$
$$x_{59} = -94.2265573558031$$
$$x_{60} = 84.7994209518635$$
$$x_{61} = 72.2289483771681$$
$$x_{62} = -40.7917141624847$$
$$x_{63} = 47.0814357397523$$
$$x_{64} = 59.6567478435559$$
$$x_{65} = 28.2035393053095$$
$$x_{66} = -50.2256832197934$$
$$x_{67} = 5.95939190757933$$
Signos de extremos en los puntos:
(9.210964387401486, -0.0115182384102548)
(81.65692117054658, 0.000149928353545869)
(-78.51434879636227, -0.000162166475547147)
(-37.64603529593052, 0.000704611119614408)
(-15.580294182424433, -0.00408601227579287)
(-84.79942095186354, -0.000139025181535869)
(-91.08423278481655, -0.000120506069272649)
(97.36883469601494, -0.000105455311245964)
(25.053079662453992, 0.00158817477024791)
(-2.4587141759996247, -0.128324928485094)
(-72.22894837716808, -0.00019160683134921)
(34.4996123350132, -0.000838770260526343)
(-59.656747843555884, -0.000280825751144458)
(31.352221521764292, 0.0010152698990766)
(-9.210964387401486, -0.0115182384102548)
(91.08423278481655, -0.000120506069272649)
(75.37169475118824, 0.000175966743144092)
(-69.08609707740959, 0.000209428978902002)
(-5.9593919075793265, 0.0266944281300046)
(-12.406540363962565, 0.00641398077993427)
(94.22655735580307, 0.000112604447700661)
(-103.65326486352524, -9.30578895300905e-5)
(37.64603529593052, 0.000704611119614408)
(-34.4996123350132, -0.000838770260526343)
(69.08609707740959, 0.000209428978902002)
(-56.513292624175506, 0.000312915432650295)
(12.406540363962565, 0.00641398077993427)
(-75.37169475118824, 0.000175966743144092)
(78.51434879636227, -0.000162166475547147)
(56.513292624175506, 0.000312915432650295)
(-109.93755273625987, -8.27248552367837e-5)
(-21.90007731563936, -0.00207637214990232)
(21.90007731563936, -0.00207637214990232)
(87.94185592095755, 0.000129269617694298)
(-87.94185592095755, 0.000129269617694298)
(-43.936808631593706, 0.000517479923876906)
(50.2256832197934, 0.000396099456126142)
(-81.65692117054658, 0.000149928353545869)
(40.79171416248471, -0.00060025351930421)
(-31.352221521764292, 0.0010152698990766)
(53.36961813396146, -0.000350838362181669)
(-62.80001670683253, 0.000253431359776371)
(-100.51106923456473, 9.89660537297585e-5)
(-97.36883469601494, -0.000105455311245964)
(-53.36961813396146, -0.000350838362181669)
(-65.94312585392862, -0.000229858880631)
(18.74325309453857, 0.00283042465312132)
(-47.081435739752315, -0.000450722368032648)
(15.580294182424433, -0.00408601227579287)
(100.51106923456473, 9.89660537297585e-5)
(43.936808631593706, 0.000517479923876906)
(65.94312585392862, -0.000229858880631)
(-18.74325309453857, 0.00283042465312132)
(135.07367845249348, -5.48038341935653e-5)
(-28.20353930530947, -0.00125401736797822)
(62.80001670683253, 0.000253431359776371)
(2.4587141759996247, -0.128324928485094)
(-25.053079662453992, 0.00158817477024791)
(-94.22655735580307, 0.000112604447700661)
(84.79942095186354, -0.000139025181535869)
(72.22894837716808, -0.00019160683134921)
(-40.79171416248471, -0.00060025351930421)
(47.081435739752315, -0.000450722368032648)
(59.656747843555884, -0.000280825751144458)
(28.20353930530947, -0.00125401736797822)
(-50.2256832197934, 0.000396099456126142)
(5.9593919075793265, 0.0266944281300046)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 9.21096438740149$$
$$x_{2} = -78.5143487963623$$
$$x_{3} = -15.5802941824244$$
$$x_{4} = -84.7994209518635$$
$$x_{5} = -91.0842327848165$$
$$x_{6} = 97.3688346960149$$
$$x_{7} = -2.45871417599962$$
$$x_{8} = -72.2289483771681$$
$$x_{9} = 34.4996123350132$$
$$x_{10} = -59.6567478435559$$
$$x_{11} = -9.21096438740149$$
$$x_{12} = 91.0842327848165$$
$$x_{13} = -103.653264863525$$
$$x_{14} = -34.4996123350132$$
$$x_{15} = 78.5143487963623$$
$$x_{16} = -109.93755273626$$
$$x_{17} = -21.9000773156394$$
$$x_{18} = 21.9000773156394$$
$$x_{19} = 40.7917141624847$$
$$x_{20} = 53.3696181339615$$
$$x_{21} = -97.3688346960149$$
$$x_{22} = -53.3696181339615$$
$$x_{23} = -65.9431258539286$$
$$x_{24} = -47.0814357397523$$
$$x_{25} = 15.5802941824244$$
$$x_{26} = 65.9431258539286$$
$$x_{27} = 135.073678452493$$
$$x_{28} = -28.2035393053095$$
$$x_{29} = 2.45871417599962$$
$$x_{30} = 84.7994209518635$$
$$x_{31} = 72.2289483771681$$
$$x_{32} = -40.7917141624847$$
$$x_{33} = 47.0814357397523$$
$$x_{34} = 59.6567478435559$$
$$x_{35} = 28.2035393053095$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{35} = 81.6569211705466$$
$$x_{35} = -37.6460352959305$$
$$x_{35} = 25.053079662454$$
$$x_{35} = 31.3522215217643$$
$$x_{35} = 75.3716947511882$$
$$x_{35} = -69.0860970774096$$
$$x_{35} = -5.95939190757933$$
$$x_{35} = -12.4065403639626$$
$$x_{35} = 94.2265573558031$$
$$x_{35} = 37.6460352959305$$
$$x_{35} = 69.0860970774096$$
$$x_{35} = -56.5132926241755$$
$$x_{35} = 12.4065403639626$$
$$x_{35} = -75.3716947511882$$
$$x_{35} = 56.5132926241755$$
$$x_{35} = 87.9418559209576$$
$$x_{35} = -87.9418559209576$$
$$x_{35} = -43.9368086315937$$
$$x_{35} = 50.2256832197934$$
$$x_{35} = -81.6569211705466$$
$$x_{35} = -31.3522215217643$$
$$x_{35} = -62.8000167068325$$
$$x_{35} = -100.511069234565$$
$$x_{35} = 18.7432530945386$$
$$x_{35} = 100.511069234565$$
$$x_{35} = 43.9368086315937$$
$$x_{35} = -18.7432530945386$$
$$x_{35} = 62.8000167068325$$
$$x_{35} = -25.053079662454$$
$$x_{35} = -94.2265573558031$$
$$x_{35} = -50.2256832197934$$
$$x_{35} = 5.95939190757933$$
Decrece en los intervalos
$$\left[135.073678452493, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -109.93755273626\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 54.9050022900618$$
$$x_{2} = -61.1956810599968$$
$$x_{3} = 7.3008858832282$$
$$x_{4} = 39.167739309003$$
$$x_{5} = -20.2222381068518$$
$$x_{6} = -45.4650856843323$$
$$x_{7} = -76.9170100644479$$
$$x_{8} = 83.2041261605509$$
$$x_{9} = -86.3474693776984$$
$$x_{10} = -124.060666131211$$
$$x_{11} = 13.8473675657494$$
$$x_{12} = -58.0505450446381$$
$$x_{13} = 20.2222381068518$$
$$x_{14} = -92.6337991480858$$
$$x_{15} = 61.1956810599968$$
$$x_{16} = 42.3169411013932$$
$$x_{17} = -32.8649384028032$$
$$x_{18} = -73.7732005024933$$
$$x_{19} = 17.0435524410056$$
$$x_{20} = -83.2041261605509$$
$$x_{21} = 26.5527542671168$$
$$x_{22} = 70.6291933516676$$
$$x_{23} = 10.6168428630359$$
$$x_{24} = -89.4906895254562$$
$$x_{25} = 67.4849609355352$$
$$x_{26} = 3.58835703497019$$
$$x_{27} = 36.0172009751693$$
$$x_{28} = 23.3907336526907$$
$$x_{29} = -80.0606453553676$$
$$x_{30} = 58.0505450446381$$
$$x_{31} = 89.4906895254562$$
$$x_{32} = -95.7768091402129$$
$$x_{33} = -13.8473675657494$$
$$x_{34} = -29.7103970410056$$
$$x_{35} = -10.6168428630359$$
$$x_{36} = -48.6123794800497$$
$$x_{37} = -39.167739309003$$
$$x_{38} = -26.5527542671168$$
$$x_{39} = 397.401405246951$$
$$x_{40} = 48.6123794800497$$
$$x_{41} = -64.3404701495554$$
$$x_{42} = 318.859109531625$$
$$x_{43} = 105.205330720799$$
$$x_{44} = -54.9050022900618$$
$$x_{45} = 29.7103970410056$$
$$x_{46} = 45.4650856843323$$
$$x_{47} = 76.9170100644479$$
$$x_{48} = 32.8649384028032$$
$$x_{49} = 51.7589783694261$$
$$x_{50} = -98.9197290094896$$
$$x_{51} = 92.6337991480858$$
$$x_{52} = -51.7589783694261$$
$$x_{53} = -36.0172009751693$$
$$x_{54} = -7.3008858832282$$
$$x_{55} = 80.0606453553676$$
$$x_{56} = 64.3404701495554$$
$$x_{57} = 95.7768091402129$$
$$x_{58} = -17.0435524410056$$
$$x_{59} = -42.3169411013932$$
$$x_{60} = 73.7732005024933$$
$$x_{61} = -3.58835703497019$$
$$x_{62} = 86.3474693776984$$
$$x_{63} = -23.3907336526907$$
$$x_{64} = -67.4849609355352$$
$$x_{65} = -70.6291933516676$$
$$x_{66} = 98.9197290094896$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[397.401405246951, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -124.060666131211\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 54.9050022900618$$
$$x_{2} = -61.1956810599968$$
$$x_{3} = 7.3008858832282$$
$$x_{4} = 39.167739309003$$
$$x_{5} = -20.2222381068518$$
$$x_{6} = -45.4650856843323$$
$$x_{7} = -76.9170100644479$$
$$x_{8} = 83.2041261605509$$
$$x_{9} = -86.3474693776984$$
$$x_{10} = -124.060666131211$$
$$x_{11} = 13.8473675657494$$
$$x_{12} = -58.0505450446381$$
$$x_{13} = 20.2222381068518$$
$$x_{14} = -92.6337991480858$$
$$x_{15} = 61.1956810599968$$
$$x_{16} = 42.3169411013932$$
$$x_{17} = -32.8649384028032$$
$$x_{18} = -73.7732005024933$$
$$x_{19} = 17.0435524410056$$
$$x_{20} = -83.2041261605509$$
$$x_{21} = 26.5527542671168$$
$$x_{22} = 70.6291933516676$$
$$x_{23} = 10.6168428630359$$
$$x_{24} = -89.4906895254562$$
$$x_{25} = 67.4849609355352$$
$$x_{26} = 3.58835703497019$$
$$x_{27} = 36.0172009751693$$
$$x_{28} = 23.3907336526907$$
$$x_{29} = -80.0606453553676$$
$$x_{30} = 58.0505450446381$$
$$x_{31} = 89.4906895254562$$
$$x_{32} = -95.7768091402129$$
$$x_{33} = -13.8473675657494$$
$$x_{34} = -29.7103970410056$$
$$x_{35} = -10.6168428630359$$
$$x_{36} = -48.6123794800497$$
$$x_{37} = -39.167739309003$$
$$x_{38} = -26.5527542671168$$
$$x_{39} = 397.401405246951$$
$$x_{40} = 48.6123794800497$$
$$x_{41} = -64.3404701495554$$
$$x_{42} = 318.859109531625$$
$$x_{43} = 105.205330720799$$
$$x_{44} = -54.9050022900618$$
$$x_{45} = 29.7103970410056$$
$$x_{46} = 45.4650856843323$$
$$x_{47} = 76.9170100644479$$
$$x_{48} = 32.8649384028032$$
$$x_{49} = 51.7589783694261$$
$$x_{50} = -98.9197290094896$$
$$x_{51} = 92.6337991480858$$
$$x_{52} = -51.7589783694261$$
$$x_{53} = -36.0172009751693$$
$$x_{54} = -7.3008858832282$$
$$x_{55} = 80.0606453553676$$
$$x_{56} = 64.3404701495554$$
$$x_{57} = 95.7768091402129$$
$$x_{58} = -17.0435524410056$$
$$x_{59} = -42.3169411013932$$
$$x_{60} = 73.7732005024933$$
$$x_{61} = -3.58835703497019$$
$$x_{62} = 86.3474693776984$$
$$x_{63} = -23.3907336526907$$
$$x_{64} = -67.4849609355352$$
$$x_{65} = -70.6291933516676$$
$$x_{66} = 98.9197290094896$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[397.401405246951, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -124.060666131211\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
- Sí
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
- Sí
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par