Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
x^2+1/x
-
(x-1)/(x+2)
-
x^2/(x^3+1)
- Integral de d{x}:
- cosx*cos(2x)
-
Expresiones idénticas
- cosx*cos(2x)
- coseno de x multiplicar por coseno de (2x)
- cosxcos(2x)
- cosxcos2x
-
Expresiones semejantes
- -1-sin(x)*sin(2*x)+2*cos(x)*cos(2*x)
- cos(x)cos(2x)-sinxsin2x
- (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Expresiones con funciones
- cosx
- cosx+2x^(2)+x
- cosx/(x^2)
- cosx-|cosx|
- cosx-(cosx)^2
- cosx/(1-2cosx+sinx)
- Coseno cos
- cos(x),x
- cos(x)-sqrt(3)*sin(x)
- cos(x)+exp(x)+exp(-x)+sin(x)
- cos(x)-3
- cos(3x)+3cos(x)
Gráfico de la función y = cosx*cos(2x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = cos(x)*cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
f = cos(x)*cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 86.3937979737193$$
$$x_{2} = 92.6769832808989$$
$$x_{3} = -7.85398163397448$$
$$x_{4} = -85.6083998103219$$
$$x_{5} = -5.49778714378214$$
$$x_{6} = 1.5707963267949$$
$$x_{7} = -58.1194640914112$$
$$x_{8} = -55.7632696012188$$
$$x_{9} = 32.2013246992954$$
$$x_{10} = 55.7632696012188$$
$$x_{11} = -45.553093477052$$
$$x_{12} = 64.4026493985908$$
$$x_{13} = 84.037603483527$$
$$x_{14} = -29.845130209103$$
$$x_{15} = -32.2013246992954$$
$$x_{16} = 24.3473430653209$$
$$x_{17} = 70.6858347057703$$
$$x_{18} = 46.3384916404494$$
$$x_{19} = 42.4115008234622$$
$$x_{20} = -25.9181393921158$$
$$x_{21} = -32.9867228626928$$
$$x_{22} = -76.1836218495525$$
$$x_{23} = -19.6349540849362$$
$$x_{24} = 68.329640215578$$
$$x_{25} = 95.8185759344887$$
$$x_{26} = 25.9181393921158$$
$$x_{27} = 3.92699081698724$$
$$x_{28} = 58.1194640914112$$
$$x_{29} = -73.8274273593601$$
$$x_{30} = 7.85398163397448$$
$$x_{31} = -91.8915851175014$$
$$x_{32} = 98.174770424681$$
$$x_{33} = 89.5353906273091$$
$$x_{34} = 23.5619449019235$$
$$x_{35} = -40.0553063332699$$
$$x_{36} = -82.4668071567321$$
$$x_{37} = -60.4756585816035$$
$$x_{38} = -67.5442420521806$$
$$x_{39} = 20.4203522483337$$
$$x_{40} = -71.4712328691678$$
$$x_{41} = 77.7544181763474$$
$$x_{42} = -47.9092879672443$$
$$x_{43} = 33.7721210260903$$
$$x_{44} = -14.1371669411541$$
$$x_{45} = 38.484510006475$$
$$x_{46} = -98.174770424681$$
$$x_{47} = -77.7544181763474$$
$$x_{48} = 29.845130209103$$
$$x_{49} = 26.7035375555132$$
$$x_{50} = 48.6946861306418$$
$$x_{51} = -27.4889357189107$$
$$x_{52} = 40.0553063332699$$
$$x_{53} = -69.9004365423729$$
$$x_{54} = 54.1924732744239$$
$$x_{55} = -54.1924732744239$$
$$x_{56} = 69.9004365423729$$
$$x_{57} = 80.1106126665397$$
$$x_{58} = 82.4668071567321$$
$$x_{59} = 90.3207887907066$$
$$x_{60} = -33.7721210260903$$
$$x_{61} = 62.0464549083984$$
$$x_{62} = 60.4756585816035$$
$$x_{63} = -95.8185759344887$$
$$x_{64} = -36.1283155162826$$
$$x_{65} = 51.8362787842316$$
$$x_{66} = -62.0464549083984$$
$$x_{67} = -3.92699081698724$$
$$x_{68} = 10.2101761241668$$
$$x_{69} = -1.5707963267949$$
$$x_{70} = 99.7455667514759$$
$$x_{71} = -63.6172512351933$$
$$x_{72} = -93.4623814442964$$
$$x_{73} = -17.2787595947439$$
$$x_{74} = 45.553093477052$$
$$x_{75} = -51.8362787842316$$
$$x_{76} = 2.35619449019234$$
$$x_{77} = 4.71238898038469$$
$$x_{78} = 36.1283155162826$$
$$x_{79} = 11.7809724509617$$
$$x_{80} = -10.2101761241668$$
$$x_{81} = -23.5619449019235$$
$$x_{82} = 18.0641577581413$$
$$x_{83} = -18.0641577581413$$
$$x_{84} = 16.4933614313464$$
$$x_{85} = -84.037603483527$$
$$x_{86} = 73.8274273593601$$
$$x_{87} = -41.6261026600648$$
$$x_{88} = 14.1371669411541$$
$$x_{89} = -89.5353906273091$$
$$x_{90} = 47.9092879672443$$
$$x_{91} = 91.8915851175014$$
$$x_{92} = -49.4800842940392$$
$$x_{93} = -80.1106126665397$$
$$x_{94} = -11.7809724509617$$
$$x_{95} = 76.1836218495525$$
$$x_{96} = 67.5442420521806$$
$$x_{97} = -99.7455667514759$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 86.3937979737193$$
$$x_{2} = 92.6769832808989$$
$$x_{3} = -7.85398163397448$$
$$x_{4} = -85.6083998103219$$
$$x_{5} = -5.49778714378214$$
$$x_{6} = 1.5707963267949$$
$$x_{7} = -58.1194640914112$$
$$x_{8} = -55.7632696012188$$
$$x_{9} = 32.2013246992954$$
$$x_{10} = 55.7632696012188$$
$$x_{11} = -45.553093477052$$
$$x_{12} = 64.4026493985908$$
$$x_{13} = 84.037603483527$$
$$x_{14} = -29.845130209103$$
$$x_{15} = -32.2013246992954$$
$$x_{16} = 24.3473430653209$$
$$x_{17} = 70.6858347057703$$
$$x_{18} = 46.3384916404494$$
$$x_{19} = 42.4115008234622$$
$$x_{20} = -25.9181393921158$$
$$x_{21} = -32.9867228626928$$
$$x_{22} = -76.1836218495525$$
$$x_{23} = -19.6349540849362$$
$$x_{24} = 68.329640215578$$
$$x_{25} = 95.8185759344887$$
$$x_{26} = 25.9181393921158$$
$$x_{27} = 3.92699081698724$$
$$x_{28} = 58.1194640914112$$
$$x_{29} = -73.8274273593601$$
$$x_{30} = 7.85398163397448$$
$$x_{31} = -91.8915851175014$$
$$x_{32} = 98.174770424681$$
$$x_{33} = 89.5353906273091$$
$$x_{34} = 23.5619449019235$$
$$x_{35} = -40.0553063332699$$
$$x_{36} = -82.4668071567321$$
$$x_{37} = -60.4756585816035$$
$$x_{38} = -67.5442420521806$$
$$x_{39} = 20.4203522483337$$
$$x_{40} = -71.4712328691678$$
$$x_{41} = 77.7544181763474$$
$$x_{42} = -47.9092879672443$$
$$x_{43} = 33.7721210260903$$
$$x_{44} = -14.1371669411541$$
$$x_{45} = 38.484510006475$$
$$x_{46} = -98.174770424681$$
$$x_{47} = -77.7544181763474$$
$$x_{48} = 29.845130209103$$
$$x_{49} = 26.7035375555132$$
$$x_{50} = 48.6946861306418$$
$$x_{51} = -27.4889357189107$$
$$x_{52} = 40.0553063332699$$
$$x_{53} = -69.9004365423729$$
$$x_{54} = 54.1924732744239$$
$$x_{55} = -54.1924732744239$$
$$x_{56} = 69.9004365423729$$
$$x_{57} = 80.1106126665397$$
$$x_{58} = 82.4668071567321$$
$$x_{59} = 90.3207887907066$$
$$x_{60} = -33.7721210260903$$
$$x_{61} = 62.0464549083984$$
$$x_{62} = 60.4756585816035$$
$$x_{63} = -95.8185759344887$$
$$x_{64} = -36.1283155162826$$
$$x_{65} = 51.8362787842316$$
$$x_{66} = -62.0464549083984$$
$$x_{67} = -3.92699081698724$$
$$x_{68} = 10.2101761241668$$
$$x_{69} = -1.5707963267949$$
$$x_{70} = 99.7455667514759$$
$$x_{71} = -63.6172512351933$$
$$x_{72} = -93.4623814442964$$
$$x_{73} = -17.2787595947439$$
$$x_{74} = 45.553093477052$$
$$x_{75} = -51.8362787842316$$
$$x_{76} = 2.35619449019234$$
$$x_{77} = 4.71238898038469$$
$$x_{78} = 36.1283155162826$$
$$x_{79} = 11.7809724509617$$
$$x_{80} = -10.2101761241668$$
$$x_{81} = -23.5619449019235$$
$$x_{82} = 18.0641577581413$$
$$x_{83} = -18.0641577581413$$
$$x_{84} = 16.4933614313464$$
$$x_{85} = -84.037603483527$$
$$x_{86} = 73.8274273593601$$
$$x_{87} = -41.6261026600648$$
$$x_{88} = 14.1371669411541$$
$$x_{89} = -89.5353906273091$$
$$x_{90} = 47.9092879672443$$
$$x_{91} = 91.8915851175014$$
$$x_{92} = -49.4800842940392$$
$$x_{93} = -80.1106126665397$$
$$x_{94} = -11.7809724509617$$
$$x_{95} = 76.1836218495525$$
$$x_{96} = 67.5442420521806$$
$$x_{97} = -99.7455667514759$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
(pi, -1)
/ / ___\ \ / / / ___\ \\
I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/ / / / ___\ \\ |I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/|
(--------------------------------, cos\I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)//*cos|--------------------------------|)
2 \ 2 / / / ___\ \ / / / ___\ \\
I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/ / / / ___\ \\ |I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/|
(--------------------------------, cos\I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)//*cos|--------------------------------|)
2 \ 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par