Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x)cos(2x)-sinxsin2x

Gráfico de la función y = cos(x)cos(2x)-sinxsin2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x)*cos(2*x) - sin(x)*sin(2*x)
f(x)=−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} 
f = -sin(x)*sin(2*x) + cos(x)*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)=0- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π6x_{3} = - \frac{\pi}{6}
x4=π6x_{4} = \frac{\pi}{6}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
x6=5π6x_{6} = \frac{5 \pi}{6}
Solución numérica
x1=60.2138591938044x_{1} = 60.2138591938044
x2=73.8274273593601x_{2} = 73.8274273593601
x3=84.2994028713261x_{3} = 84.2994028713261
x4=−93.7241808320955x_{4} = -93.7241808320955
x5=14.1371669411541x_{5} = 14.1371669411541
x6=58.1194640914112x_{6} = 58.1194640914112
x7=9.94837673636768x_{7} = 9.94837673636768
x8=91.6297857297023x_{8} = 91.6297857297023
x9=40.317105721069x_{9} = 40.317105721069
x10=36.1283155162826x_{10} = 36.1283155162826
x11=−7.85398163397448x_{11} = -7.85398163397448
x12=−58.1194640914112x_{12} = -58.1194640914112
x13=86.3937979737193x_{13} = 86.3937979737193
x14=51.8362787842316x_{14} = 51.8362787842316
x15=−89.5353906273091x_{15} = -89.5353906273091
x16=1.5707963267949x_{16} = 1.5707963267949
x17=−82.2050077689329x_{17} = -82.2050077689329
x18=87.4409955249159x_{18} = 87.4409955249159
x19=−5.75958653158129x_{19} = -5.75958653158129
x20=−97.9129710368819x_{20} = -97.9129710368819
x21=56.025068989018x_{21} = 56.025068989018
x22=−75.9218224617533x_{22} = -75.9218224617533
x23=−3.66519142918809x_{23} = -3.66519142918809
x24=5.75958653158129x_{24} = 5.75958653158129
x25=−31.9395253114962x_{25} = -31.9395253114962
x26=−36.1283155162826x_{26} = -36.1283155162826
x27=−19.3731546971371x_{27} = -19.3731546971371
x28=−49.7418836818384x_{28} = -49.7418836818384
x29=0.523598775598299x_{29} = 0.523598775598299
x30=−16.2315620435473x_{30} = -16.2315620435473
x31=−14.1371669411541x_{31} = -14.1371669411541
x32=80.1106126665397x_{32} = 80.1106126665397
x33=95.8185759344887x_{33} = 95.8185759344887
x34=34.0339204138894x_{34} = 34.0339204138894
x35=12.0427718387609x_{35} = 12.0427718387609
x36=4.71238898038469x_{36} = 4.71238898038469
x37=49.7418836818384x_{37} = 49.7418836818384
x38=20.4203522483337x_{38} = 20.4203522483337
x39=−23.5619449019235x_{39} = -23.5619449019235
x40=−51.8362787842316x_{40} = -51.8362787842316
x41=−29.845130209103x_{41} = -29.845130209103
x42=27.7507351067098x_{42} = 27.7507351067098
x43=7.85398163397448x_{43} = 7.85398163397448
x44=16.2315620435473x_{44} = 16.2315620435473
x45=−62.3082542961976x_{45} = -62.3082542961976
x46=−95.8185759344887x_{46} = -95.8185759344887
x47=−9.94837673636768x_{47} = -9.94837673636768
x48=−69.6386371545737x_{48} = -69.6386371545737
x49=−27.7507351067098x_{49} = -27.7507351067098
x50=78.0162175641465x_{50} = 78.0162175641465
x51=−56.025068989018x_{51} = -56.025068989018
x52=−12.0427718387609x_{52} = -12.0427718387609
x53=88.4881930761125x_{53} = 88.4881930761125
x54=53.9306738866248x_{54} = 53.9306738866248
x55=−61.261056745001x_{55} = -61.261056745001
x56=−43.4586983746588x_{56} = -43.4586983746588
x57=−67.5442420521806x_{57} = -67.5442420521806
x58=−21.4675497995303x_{58} = -21.4675497995303
x59=31.9395253114962x_{59} = 31.9395253114962
x60=18.3259571459405x_{60} = 18.3259571459405
x61=−84.2994028713261x_{61} = -84.2994028713261
x62=66.497044500984x_{62} = 66.497044500984
x63=−45.553093477052x_{63} = -45.553093477052
x64=−71.733032256967x_{64} = -71.733032256967
x65=42.4115008234622x_{65} = 42.4115008234622
x66=−60.2138591938044x_{66} = -60.2138591938044
x67=68.5914396033772x_{67} = 68.5914396033772
x68=−73.8274273593601x_{68} = -73.8274273593601
x69=−25.6563400043166x_{69} = -25.6563400043166
x70=−1.5707963267949x_{70} = -1.5707963267949
x71=93.7241808320955x_{71} = 93.7241808320955
x72=22.5147473507269x_{72} = 22.5147473507269
x73=−34.0339204138894x_{73} = -34.0339204138894
x74=100.007366139275x_{74} = 100.007366139275
x75=−91.6297857297023x_{75} = -91.6297857297023
x76=−47.6474885794452x_{76} = -47.6474885794452
x77=75.9218224617533x_{77} = 75.9218224617533
x78=82.2050077689329x_{78} = 82.2050077689329
x79=97.9129710368819x_{79} = 97.9129710368819
x80=−53.9306738866248x_{80} = -53.9306738866248
x81=−78.0162175641465x_{81} = -78.0162175641465
x82=26.7035375555132x_{82} = 26.7035375555132
x83=−98.9601685880785x_{83} = -98.9601685880785
x84=−38.2227106186758x_{84} = -38.2227106186758
x85=44.5058959258554x_{85} = 44.5058959258554
x86=15.1843644923507x_{86} = 15.1843644923507
x87=71.733032256967x_{87} = 71.733032256967
x88=−80.1106126665397x_{88} = -80.1106126665397
x89=−100.007366139275x_{89} = -100.007366139275
x90=64.4026493985908x_{90} = 64.4026493985908
x91=29.845130209103x_{91} = 29.845130209103
x92=62.3082542961976x_{92} = 62.3082542961976
x93=41.3643032722656x_{93} = 41.3643032722656
x94=−65.4498469497874x_{94} = -65.4498469497874
x95=38.2227106186758x_{95} = 38.2227106186758
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)*cos(2*x) - sin(x)*sin(2*x).
−sin⁡(0)sin⁡(0⋅2)+cos⁡(0)cos⁡(0⋅2)- \sin{\left(0 \right)} \sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + \cos{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)cos⁡(2x)−3sin⁡(2x)cos⁡(x)=0- 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 3 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−5π3x_{2} = - \frac{5 \pi}{3}
x3=−4π3x_{3} = - \frac{4 \pi}{3}
x4=−πx_{4} = - \pi
x5=−2π3x_{5} = - \frac{2 \pi}{3}
x6=−π3x_{6} = - \frac{\pi}{3}
x7=π3x_{7} = \frac{\pi}{3}
x8=2π3x_{8} = \frac{2 \pi}{3}
x9=πx_{9} = \pi
x10=4π3x_{10} = \frac{4 \pi}{3}
x11=5π3x_{11} = \frac{5 \pi}{3}
x12=2πx_{12} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 -5*pi     
(-----, -1)
   3       

 -4*pi    
(-----, 1)
   3      

(-pi, -1)

 -2*pi    
(-----, 1)
   3      

 -pi      
(----, -1)
  3       

 pi     
(--, -1)
 3      

 2*pi    
(----, 1)
  3      

(pi, -1)

 4*pi    
(----, 1)
  3      

 5*pi     
(----, -1)
  3       

(2*pi, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5π3x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}
x2=−πx_{2} = - \pi
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x4=π3x_{4} = \frac{\pi}{3}
x5=πx_{5} = \pi
x6=5π3x_{6} = \frac{5 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x6=0x_{6} = 0
x6=−4π3x_{6} = - \frac{4 \pi}{3}
x6=−2π3x_{6} = - \frac{2 \pi}{3}
x6=2π3x_{6} = \frac{2 \pi}{3}
x6=4π3x_{6} = \frac{4 \pi}{3}
x6=2πx_{6} = 2 \pi
Decrece en los intervalos
[5π3,∞)\left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−5π3]\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9(sin⁡(x)sin⁡(2x)−cos⁡(x)cos⁡(2x))=09 \left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π6x_{3} = - \frac{\pi}{6}
x4=π6x_{4} = \frac{\pi}{6}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
x6=5π6x_{6} = \frac{5 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[5π6,∞)\left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)*cos(2*x) - sin(x)*sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)=−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
- Sí
−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)=sin⁡(x)sin⁡(2x)−cos⁡(x)cos⁡(2x)- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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