Sr Examen

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cos(x^2+5)^(3)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x^2+5)^(3)

Gráfico de la función y = cos(x^2+5)^(3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3/ 2    \
f(x) = cos \x  + 5/
f(x)=cos⁡3(x2+5)f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x^{2} + 5 \right)} 
f = cos(x^2 + 5)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡3(x2+5)=0\cos^{3}{\left(x^{2} + 5 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−52.0663697544252x_{1} = -52.0663697544252
x2=31.997992145891x_{2} = 31.997992145891
x3=−11.7448933029021x_{3} = -11.7448933029021
x4=−59.9998131494872x_{4} = -59.9998131494872
x5=88.2480623505825x_{5} = 88.2480623505825
x6=−89.7482927969741x_{6} = -89.7482927969741
x7=−65.6982548598493x_{7} = -65.6982548598493
x8=6.11649647594639x_{8} = 6.11649647594639
x9=−61.6780439570964x_{9} = -61.6780439570964
x10=−19.8093768383896x_{10} = -19.8093768383896
x11=−29.7597279677183x_{11} = -29.7597279677183
x12=12.2682038262755x_{12} = 12.2682038262755
x13=80.2494693962654x_{13} = 80.2494693962654
x14=72.3870772238288x_{14} = 72.3870772238288
x15=40.3757233452477x_{15} = 40.3757233452477
x16=43.8089664763001x_{16} = 43.8089664763001
x17=82.1835540985957x_{17} = 82.1835540985957
x18=54.252968556004x_{18} = 54.252968556004
x19=−45.8414430083948x_{19} = -45.8414430083948
x20=−95.8585985830129x_{20} = -95.8585985830129
x21=−67.8854087786538x_{21} = -67.8854087786538
x22=8.29622507408922x_{22} = 8.29622507408922
x23=−81.2995901194117x_{23} = -81.2995901194117
x24=92.2512157085239x_{24} = 92.2512157085239
x25=46.2508050170235x_{25} = 46.2508050170235
x26=−3.92688677636249x_{26} = -3.92688677636249
x27=−35.7538878308534x_{27} = -35.7538878308534
x28=51.5814042397705x_{28} = 51.5814042397705
x29=76.4400077599057x_{29} = 76.4400077599057
x30=48.2455442408022x_{30} = 48.2455442408022
x31=−85.1130132549026x_{31} = -85.1130132549026
x32=37.96976947485x_{32} = 37.96976947485
x33=94.0220938394258x_{33} = 94.0220938394258
x34=25.7407935060421x_{34} = 25.7407935060421
x35=−70.0266986896122x_{35} = -70.0266986896122
x36=74.2509759707099x_{36} = 74.2509759707099
x37=−39.7483775422106x_{37} = -39.7483775422106
x38=1.68937673339377x_{38} = 1.68937673339377
x39=−41.7528002664201x_{39} = -41.7528002664201
x40=2.44858586465837x_{40} = 2.44858586465837
x41=78.2274566213261x_{41} = 78.2274566213261
x42=96.2510729337679x_{42} = 96.2510729337679
x43=−5.85405422056964x_{43} = -5.85405422056964
x44=90.202202114565x_{44} = 90.202202114565
x45=70.250654172218x_{45} = 70.250654172218
x46=18.2406497744926x_{46} = 18.2406497744926
x47=16.23595127914x_{47} = 16.23595127914
x48=−64.002728249379x_{48} = -64.002728249379
x49=−15.7447846767684x_{49} = -15.7447846767684
x50=−43.8806184186827x_{50} = -43.8806184186827
x51=−1.68938875055518x_{51} = -1.68938875055518
x52=51.1225730915983x_{52} = 51.1225730915983
x53=86.2496597686963x_{53} = 86.2496597686963
x54=−91.9100376890454x_{54} = -91.9100376890454
x55=−27.6246171144836x_{55} = -27.6246171144836
x56=−73.0136639197297x_{56} = -73.0136639197297
x57=24.4257049227802x_{57} = 24.4257049227802
x58=28.2431759658521x_{58} = 28.2431759658521
x59=30.1269414324541x_{59} = 30.1269414324541
x60=59.9998131496237x_{60} = 59.9998131496237
x61=−25.6796956094115x_{61} = -25.6796956094115
x62=57.9217864996593x_{62} = 57.9217864996593
x63=−58.0572242345916x_{63} = -58.0572242345916
x64=−16.9923184988191x_{64} = -16.9923184988191
x65=56.1593387717591x_{65} = 56.1593387717591
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x^2 + 5)^3.
cos⁡3(02+5)\cos^{3}{\left(0^{2} + 5 \right)}
Resultado:
f(0)=cos⁡3(5)f{\left(0 \right)} = \cos^{3}{\left(5 \right)}
Punto:
(0, cos(5)^3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6xsin⁡(x2+5)cos⁡2(x2+5)=0- 6 x \sin{\left(x^{2} + 5 \right)} \cos^{2}{\left(x^{2} + 5 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
       3    
(0, cos (5))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡3(x2+5)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos^{3}{\left(x^{2} + 5 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡3(x2+5)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos^{3}{\left(x^{2} + 5 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x^2 + 5)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡3(x2+5)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x^{2} + 5 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡3(x2+5)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x^{2} + 5 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡3(x2+5)=cos⁡3(x2+5)\cos^{3}{\left(x^{2} + 5 \right)} = \cos^{3}{\left(x^{2} + 5 \right)}
- Sí
cos⁡3(x2+5)=−cos⁡3(x2+5)\cos^{3}{\left(x^{2} + 5 \right)} = - \cos^{3}{\left(x^{2} + 5 \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x^2+5)^(3)
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