Sr Examen

Otras calculadoras


(x^3-x^2)/(4-x^2)
  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^3/3-4*x x^3/3-4*x
  • x^3-6*x^2+9*x+1 x^3-6*x^2+9*x+1
  • y=x+2 y=x+2
  • (x^3-x^2)/(4-x^2) (x^3-x^2)/(4-x^2)
  • Expresiones idénticas

  • (x^ tres -x^ dos)/(cuatro -x^ dos)
  • (x al cubo menos x al cuadrado ) dividir por (4 menos x al cuadrado )
  • (x en el grado tres menos x en el grado dos) dividir por (cuatro menos x en el grado dos)
  • (x3-x2)/(4-x2)
  • x3-x2/4-x2
  • (x³-x²)/(4-x²)
  • (x en el grado 3-x en el grado 2)/(4-x en el grado 2)
  • x^3-x^2/4-x^2
  • (x^3-x^2) dividir por (4-x^2)
  • Expresiones semejantes

  • (x^3-x^2)/(4+x^2)
  • (x^3+x^2)/(4-x^2)

Gráfico de la función y = (x^3-x^2)/(4-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        3    2
       x  - x 
f(x) = -------
             2
        4 - x 
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}$$
f = (x^3 - x^2)/(4 - x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 - x^2)/(4 - x^2).
$$\frac{0^{3} - 0^{2}}{4 - 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x \left(x^{3} - x^{2}\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 2 x}{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{6}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

                                                                                                           3                                                        2 
                                                      /                                  _________________\    /                                  _________________\  
                                                      |                                 /             ___ |    |                                 /             ___ |  
                                                      |                                /  27   27*I*\/ 3  |    |                                /  27   27*I*\/ 3  |  
                                                      |                           2*3 /   -- + ---------- |    |                           2*3 /   -- + ---------- |  
                                                      |            6                \/    2        2      |    |            6                \/    2        2      |  
                                                      |- ---------------------- - ------------------------|  - |- ---------------------- - ------------------------|  
                                   _________________  |       _________________              3            |    |       _________________              3            |  
                                  /             ___   |      /             ___                            |    |      /             ___                            |  
                                 /  27   27*I*\/ 3    |     /  27   27*I*\/ 3                             |    |     /  27   27*I*\/ 3                             |  
                            2*3 /   -- + ----------   |  3 /   -- + ----------                            |    |  3 /   -- + ----------                            |  
             6                \/    2        2        \  \/    2        2                                 /    \  \/    2        2                                 /  
(- ---------------------- - ------------------------, ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
        _________________              3                                                                                                  2                           
       /             ___                                                             /                                  _________________\                            
      /  27   27*I*\/ 3                                                              |                                 /             ___ |                            
   3 /   -- + ----------                                                             |                                /  27   27*I*\/ 3  |                            
   \/    2        2                                                                  |                           2*3 /   -- + ---------- |                            
                                                                                     |            6                \/    2        2      |                            
                                                                                 4 - |- ---------------------- - ------------------------|                            
                                                                                     |       _________________              3            |                            
                                                                                     |      /             ___                            |                            
                                                                                     |     /  27   27*I*\/ 3                             |                            
                                                                                     |  3 /   -- + ----------                            |                            
                                                                                     \  \/    2        2                                 /                            


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - x^2)/(4 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(4 - x^{2}\right)}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(4 - x^{2}\right)}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = \frac{- x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = - \frac{- x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3-x^2)/(4-x^2)