Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*(x-4)
-
x/(x^2-1)^(1/3)
-
x*e^(-((x^2)/2))
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres -x^ dos)/(cuatro -x^ dos)
- (x al cubo menos x al cuadrado ) dividir por (4 menos x al cuadrado )
- (x en el grado tres menos x en el grado dos) dividir por (cuatro menos x en el grado dos)
- (x3-x2)/(4-x2)
- x3-x2/4-x2
- (x³-x²)/(4-x²)
- (x en el grado 3-x en el grado 2)/(4-x en el grado 2)
- x^3-x^2/4-x^2
- (x^3-x^2) dividir por (4-x^2)
-
Expresiones semejantes
- (x^3-x^2)/(4+x^2)
- (x^3+x^2)/(4-x^2)
Gráfico de la función y = (x^3-x^2)/(4-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
3 2
x - x
f(x) = -------
2
4 - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}$$
f = (x^3 - x^2)/(4 - x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x \left(x^{3} - x^{2}\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 2 x}{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{6}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x \left(x^{3} - x^{2}\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 2 x}{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{6}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
3 2
/ _________________\ / _________________\
| / ___ | | / ___ |
| / 27 27*I*\/ 3 | | / 27 27*I*\/ 3 |
| 2*3 / -- + ---------- | | 2*3 / -- + ---------- |
| 6 \/ 2 2 | | 6 \/ 2 2 |
|- ---------------------- - ------------------------| - |- ---------------------- - ------------------------|
_________________ | _________________ 3 | | _________________ 3 |
/ ___ | / ___ | | / ___ |
/ 27 27*I*\/ 3 | / 27 27*I*\/ 3 | | / 27 27*I*\/ 3 |
2*3 / -- + ---------- | 3 / -- + ---------- | | 3 / -- + ---------- |
6 \/ 2 2 \ \/ 2 2 / \ \/ 2 2 /
(- ---------------------- - ------------------------, ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
_________________ 3 2
/ ___ / _________________\
/ 27 27*I*\/ 3 | / ___ |
3 / -- + ---------- | / 27 27*I*\/ 3 |
\/ 2 2 | 2*3 / -- + ---------- |
| 6 \/ 2 2 |
4 - |- ---------------------- - ------------------------|
| _________________ 3 |
| / ___ |
| / 27 27*I*\/ 3 |
| 3 / -- + ---------- |
\ \/ 2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - x^2)/(4 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(4 - x^{2}\right)}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(4 - x^{2}\right)}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(4 - x^{2}\right)}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(4 - x^{2}\right)}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = \frac{- x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = - \frac{- x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = \frac{- x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = - \frac{- x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico