Sr Examen

Otras calculadoras

(x^3-x^2)/(4-x^2)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x/(x^2-1)^(1/3) x/(x^2-1)^(1/3)
  • (x^3+16)/x (x^3+16)/x
  • (x^3-x^2)/(4-x^2) (x^3-x^2)/(4-x^2)
  • x^3+3*x^2+1 x^3+3*x^2+1

  • Expresiones idénticas

  • (x^ tres -x^ dos)/(cuatro -x^ dos)
  • (x al cubo menos x al cuadrado ) dividir por (4 menos x al cuadrado )
  • (x en el grado tres menos x en el grado dos) dividir por (cuatro menos x en el grado dos)
  • (x3-x2)/(4-x2)
  • x3-x2/4-x2
  • (x³-x²)/(4-x²)
  • (x en el grado 3-x en el grado 2)/(4-x en el grado 2)
  • x^3-x^2/4-x^2
  • (x^3-x^2) dividir por (4-x^2)

  • Expresiones semejantes

  • (x^3-x^2)/(4+x^2)
  • (x^3+x^2)/(4-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ (x^3-x^2)/(4-x^2)

Gráfico de la función y = (x^3-x^2)/(4-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3    2
       x  - x 
f(x) = -------
             2
        4 - x
f(x)=x3−x24−x2f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} 
f = (x^3 - x^2)/(4 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3−x24−x2=0\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 - x^2)/(4 - x^2).
03−024−02\frac{0^{3} - 0^{2}}{4 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x(x3−x2)(4−x2)2+3x2−2x4−x2=0\frac{2 x \left(x^{3} - x^{2}\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 2 x}{4 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2272+273i233−6272+273i23x_{2} = - \frac{2 \sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{6}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

                                                                                                           3                                                        2 
                                                      /                                  _________________\    /                                  _________________\  
                                                      |                                 /             ___ |    |                                 /             ___ |  
                                                      |                                /  27   27*I*\/ 3  |    |                                /  27   27*I*\/ 3  |  
                                                      |                           2*3 /   -- + ---------- |    |                           2*3 /   -- + ---------- |  
                                                      |            6                \/    2        2      |    |            6                \/    2        2      |  
                                                      |- ---------------------- - ------------------------|  - |- ---------------------- - ------------------------|  
                                   _________________  |       _________________              3            |    |       _________________              3            |  
                                  /             ___   |      /             ___                            |    |      /             ___                            |  
                                 /  27   27*I*\/ 3    |     /  27   27*I*\/ 3                             |    |     /  27   27*I*\/ 3                             |  
                            2*3 /   -- + ----------   |  3 /   -- + ----------                            |    |  3 /   -- + ----------                            |  
             6                \/    2        2        \  \/    2        2                                 /    \  \/    2        2                                 /  
(- ---------------------- - ------------------------, ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
        _________________              3                                                                                                  2                           
       /             ___                                                             /                                  _________________\                            
      /  27   27*I*\/ 3                                                              |                                 /             ___ |                            
   3 /   -- + ----------                                                             |                                /  27   27*I*\/ 3  |                            
   \/    2        2                                                                  |                           2*3 /   -- + ---------- |                            
                                                                                     |            6                \/    2        2      |                            
                                                                                 4 - |- ---------------------- - ------------------------|                            
                                                                                     |       _________________              3            |                            
                                                                                     |      /             ___                            |                            
                                                                                     |     /  27   27*I*\/ 3                             |                            
                                                                                     |  3 /   -- + ----------                            |                            
                                                                                     \  \/    2        2                                 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−4cos⁡(π9)x_{1} = - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
[−4cos⁡(π9),0]\left[- 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}, 0\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−4cos⁡(π9)]∪[0,∞)\left(-\infty, - 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−x2(x−1)(4x2x2−4−1)x2−4+2x2(3x−2)x2−4−3x+1)x2−4=0\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−323+1+33x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−2−(2(−x2(x−1)(4x2x2−4−1)x2−4+2x2(3x−2)x2−4−3x+1)x2−4)=∞\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty
lim⁡x→−2+(2(−x2(x−1)(4x2x2−4−1)x2−4+2x2(3x−2)x2−4−3x+1)x2−4)=−∞\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(2(−x2(x−1)(4x2x2−4−1)x2−4+2x2(3x−2)x2−4−3x+1)x2−4)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty
lim⁡x→2+(2(−x2(x−1)(4x2x2−4−1)x2−4+2x2(3x−2)x2−4−3x+1)x2−4)=−∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 4} - 3 x + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−323+1+33,∞)\left[- 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−323+1+33]\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}} + 1 + \sqrt[3]{3}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3−x24−x2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3−x24−x2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - x^2)/(4 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3−x2x(4−x2))=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(4 - x^{2}\right)}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(x3−x2x(4−x2))=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(4 - x^{2}\right)}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3−x24−x2=−x3−x24−x2\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = \frac{- x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}
- No
x3−x24−x2=−−x3−x24−x2\frac{x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}} = - \frac{- x^{3} - x^{2}}{4 - x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3-x^2)/(4-x^2)
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