Sr Examen

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cos(x)*e^x
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)*e^x

Gráfico de la función y = cos(x)*e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               x
f(x) = cos(x)*E
f(x)=excos⁡(x)f{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(x \right)} 
f = E^x*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
excos⁡(x)=0e^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=4.71238898038469x_{1} = 4.71238898038469
x2=−10.9955742875643x_{2} = -10.9955742875643
x3=26.7035375555132x_{3} = 26.7035375555132
x4=−23.5619449019235x_{4} = -23.5619449019235
x5=−26.7035375555132x_{5} = -26.7035375555132
x6=−89.5353906273091x_{6} = -89.5353906273091
x7=−17.2787595947439x_{7} = -17.2787595947439
x8=−42.4115008234622x_{8} = -42.4115008234622
x9=−61.261056745001x_{9} = -61.261056745001
x10=−76.9690200129499x_{10} = -76.9690200129499
x11=−92.6769832808989x_{11} = -92.6769832808989
x12=−98.9601685880785x_{12} = -98.9601685880785
x13=−54.9778714378214x_{13} = -54.9778714378214
x14=−64.4026493985908x_{14} = -64.4026493985908
x15=−7.85398163397448x_{15} = -7.85398163397448
x16=−14.1371669411541x_{16} = -14.1371669411541
x17=14.1371669411541x_{17} = 14.1371669411541
x18=−1.5707963267949x_{18} = -1.5707963267949
x19=−105.243353895258x_{19} = -105.243353895258
x20=1.5707963267949x_{20} = 1.5707963267949
x21=10.9955742875643x_{21} = 10.9955742875643
x22=17.2787595947439x_{22} = 17.2787595947439
x23=−51.8362787842316x_{23} = -51.8362787842316
x24=−29.845130209103x_{24} = -29.845130209103
x25=29.845130209103x_{25} = 29.845130209103
x26=−48.6946861306418x_{26} = -48.6946861306418
x27=−73.8274273593601x_{27} = -73.8274273593601
x28=23.5619449019235x_{28} = 23.5619449019235
x29=20.4203522483337x_{29} = 20.4203522483337
x30=−86.3937979737193x_{30} = -86.3937979737193
x31=−67.5442420521806x_{31} = -67.5442420521806
x32=−4.71238898038469x_{32} = -4.71238898038469
x33=−45.553093477052x_{33} = -45.553093477052
x34=−70.6858347057703x_{34} = -70.6858347057703
x35=−83.2522053201295x_{35} = -83.2522053201295
x36=−95.8185759344887x_{36} = -95.8185759344887
x37=−39.2699081698724x_{37} = -39.2699081698724
x38=−32.9867228626928x_{38} = -32.9867228626928
x39=−20.4203522483337x_{39} = -20.4203522483337
x40=−36.1283155162826x_{40} = -36.1283155162826
x41=7.85398163397448x_{41} = 7.85398163397448
x42=−80.1106126665397x_{42} = -80.1106126665397
x43=−58.1194640914112x_{43} = -58.1194640914112
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)*E^x.
e0cos⁡(0)e^{0} \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−exsin⁡(x)+excos⁡(x)=0- e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
            pi 
            -- 
       ___  4  
 pi  \/ 2 *e   
(--, ---------)
 4       2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2exsin⁡(x)=0- 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(excos⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(excos⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
excos⁡(x)=e−xcos⁡(x)e^{x} \cos{\left(x \right)} = e^{- x} \cos{\left(x \right)}
- No
excos⁡(x)=−e−xcos⁡(x)e^{x} \cos{\left(x \right)} = - e^{- x} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)*e^x
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