Sr Examen

Otras calculadoras

cos(x)+cos(2x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)+cos(2x)

Gráfico de la función y = cos(x)+cos(2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x) + cos(2*x)
f(x)=cos⁡(x)+cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} 
f = cos(x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)+cos⁡(2x)=0\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5π3x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}
x2=−πx_{2} = - \pi
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x4=π3x_{4} = \frac{\pi}{3}
x5=πx_{5} = \pi
x6=5π3x_{6} = \frac{5 \pi}{3}
Solución numérica
x1=−40.8407044009017x_{1} = -40.8407044009017
x2=−9.42477812311019x_{2} = -9.42477812311019
x3=53.4070753369186x_{3} = 53.4070753369186
x4=82.7286065445312x_{4} = 82.7286065445312
x5=−57.5958653158129x_{5} = -57.5958653158129
x6=−99.4837673636768x_{6} = -99.4837673636768
x7=34.5575190335478x_{7} = 34.5575190335478
x8=−13.6135681655558x_{8} = -13.6135681655558
x9=70.162235930172x_{9} = 70.162235930172
x10=−84.8230022421807x_{10} = -84.8230022421807
x11=97.389372486408x_{11} = 97.389372486408
x12=80.634211442138x_{12} = 80.634211442138
x13=59.6902605931502x_{13} = 59.6902605931502
x14=63.8790506229925x_{14} = 63.8790506229925
x15=−97.3893724356252x_{15} = -97.3893724356252
x16=3.14159267447126x_{16} = 3.14159267447126
x17=−74.3510261349584x_{17} = -74.3510261349584
x18=−19.8967534727354x_{18} = -19.8967534727354
x19=40.8407042778045x_{19} = 40.8407042778045
x20=−40.8407044128941x_{20} = -40.8407044128941
x21=32.4631240870945x_{21} = 32.4631240870945
x22=15.7079634367135x_{22} = 15.7079634367135
x23=−40.8407047547408x_{23} = -40.8407047547408
x24=9.42477818680547x_{24} = 9.42477818680547
x25=36.6519142918809x_{25} = 36.6519142918809
x26=−84.8230014829768x_{26} = -84.8230014829768
x27=107.86134777325x_{27} = 107.86134777325
x28=−40.8407049942712x_{28} = -40.8407049942712
x29=−55.5014702134197x_{29} = -55.5014702134197
x30=17.8023583703422x_{30} = 17.8023583703422
x31=91.1061868861836x_{31} = 91.1061868861836
x32=55.5014702134197x_{32} = 55.5014702134197
x33=30.3687289847013x_{33} = 30.3687289847013
x34=−72.256630877064x_{34} = -72.256630877064
x35=−53.4070752795041x_{35} = -53.4070752795041
x36=38.7463093942741x_{36} = 38.7463093942741
x37=19.8967534727354x_{37} = 19.8967534727354
x38=57.5958653158129x_{38} = 57.5958653158129
x39=26.1799387799149x_{39} = 26.1799387799149
x40=−84.8230015251551x_{40} = -84.8230015251551
x41=−93.2005820564972x_{41} = -93.2005820564972
x42=24.0855436775217x_{42} = 24.0855436775217
x43=61.7846555205993x_{43} = 61.7846555205993
x44=21.9911485973609x_{44} = 21.9911485973609
x45=47.1238897752019x_{45} = 47.1238897752019
x46=−63.8790506229925x_{46} = -63.8790506229925
x47=−30.3687289847013x_{47} = -30.3687289847013
x48=28.2743338652086x_{48} = 28.2743338652086
x49=65.9734457528689x_{49} = 65.9734457528689
x50=−17.8023583703422x_{50} = -17.8023583703422
x51=−646.120889088301x_{51} = -646.120889088301
x52=78.5398161904624x_{52} = 78.5398161904624
x53=13.6135681655558x_{53} = 13.6135681655558
x54=−719.424718069224x_{54} = -719.424718069224
x55=91.1061868116125x_{55} = 91.1061868116125
x56=99.4837673636768x_{56} = 99.4837673636768
x57=−21.9911485864549x_{57} = -21.9911485864549
x58=−32.4631240870945x_{58} = -32.4631240870945
x59=−68.0678408277789x_{59} = -68.0678408277789
x60=−47.1238900222279x_{60} = -47.1238900222279
x61=−5.23598775598299x_{61} = -5.23598775598299
x62=−28.2743337200245x_{62} = -28.2743337200245
x63=−49.2182849062401x_{63} = -49.2182849062401
x64=47.1238894268221x_{64} = 47.1238894268221
x65=−3.14159287255706x_{65} = -3.14159287255706
x66=74.3510261349584x_{66} = 74.3510261349584
x67=3.14159271706432x_{67} = 3.14159271706432
x68=−24.0855436775217x_{68} = -24.0855436775217
x69=−61.7846555205993x_{69} = -61.7846555205993
x70=−91.1061871711313x_{70} = -91.1061871711313
x71=47.1238901206303x_{71} = 47.1238901206303
x72=91.1061869261407x_{72} = 91.1061869261407
x73=72.2566310277195x_{73} = 72.2566310277195
x74=−65.9734457650482x_{74} = -65.9734457650482
x75=−70.162235930172x_{75} = -70.162235930172
x76=−59.690260457585x_{76} = -59.690260457585
x77=3.14159322994749x_{77} = 3.14159322994749
x78=−15.7079632965016x_{78} = -15.7079632965016
x79=−78.5398161151012x_{79} = -78.5398161151012
x80=−95.2949771588904x_{80} = -95.2949771588904
x81=68.0678408277789x_{81} = 68.0678408277789
x82=3.14159276530697x_{82} = 3.14159276530697
x83=−34.5575189638817x_{83} = -34.5575189638817
x84=−76.4454212373516x_{84} = -76.4454212373516
x85=47.1238898268985x_{85} = 47.1238898268985
x86=−7.33038285837618x_{86} = -7.33038285837618
x87=91.1061863890352x_{87} = 91.1061863890352
x88=84.8230014287926x_{88} = 84.8230014287926
x89=−11.5191730631626x_{89} = -11.5191730631626
x90=11.5191730631626x_{90} = 11.5191730631626
x91=−26.1799387799149x_{91} = -26.1799387799149
x92=21.9911485851931x_{92} = 21.9911485851931
x93=76.4454212373516x_{93} = 76.4454212373516
x94=−47.1238905036874x_{94} = -47.1238905036874
x95=−51.3126800086333x_{95} = -51.3126800086333
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) + cos(2*x).
cos⁡(0)+cos⁡(0⋅2)\cos{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)−2sin⁡(2x)=0- \sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=−ilog⁡(−14−15i4)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}
x4=−ilog⁡(−14+15i4)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

(pi, 0)

       /          ____\     /     /          ____\\      /       /          ____\\ 
       |  1   I*\/ 15 |     |     |  1   I*\/ 15 ||      |       |  1   I*\/ 15 || 
(-I*log|- - - --------|, cos|I*log|- - - --------|| + cos|2*I*log|- - - --------||)
       \  4      4    /     \     \  4      4    //      \       \  4      4    // 

       /          ____\     /     /          ____\\      /       /          ____\\ 
       |  1   I*\/ 15 |     |     |  1   I*\/ 15 ||      |       |  1   I*\/ 15 || 
(-I*log|- - + --------|, cos|I*log|- - + --------|| + cos|2*I*log|- - + --------||)
       \  4      4    /     \     \  4      4    //      \       \  4      4    //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π+atan⁡(15)x_{1} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}
x2=π−atan⁡(15)x_{2} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Decrece en los intervalos
[−π+atan⁡(15),0]∪[π−atan⁡(15),∞)\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(15)]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(cos⁡(x)+4cos⁡(2x))=0- (\cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−116+12916−2i129+6316)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{129}}{16} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} \right)}
x2=−ilog⁡(−116+12916+2i129+6316)x_{2} = - i \log{\left(- \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{129}}{16} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} \right)}
x3=−ilog⁡(−12916−116−2i63−12916)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{129}}{16} - \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} \right)}
x4=−ilog⁡(−12916−116+2i63−12916)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{129}}{16} - \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π−atan⁡(263−129−129−1),−atan⁡(2129+63−1+129)]∪[atan⁡(2129+63−1+129),∞)\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{- \sqrt{129} - 1} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{-1 + \sqrt{129}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{-1 + \sqrt{129}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π−atan⁡(263−129−129−1)]\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{- \sqrt{129} - 1} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)+cos⁡(2x)=cos⁡(x)+cos⁡(2x)\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}
- Sí
cos⁡(x)+cos⁡(2x)=−cos⁡(x)−cos⁡(2x)\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)+cos(2x)
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