Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- cos(x)+cos(2x)
- coseno de (x) más coseno de (2x)
- cosx+cos2x
-
Expresiones semejantes
- cos(x)-cos(2x)
- 3*sin^2(x)+4*sin(x)cos(x)+cos^2(x)
- 2*cos(x)+(cos(2*x)+sin(2*x))*exp(-x)+sin(x)
- -cos(x)+cos^2(x)
- cos(x)+cos(2*x)
- (-cos(x)+cos(2*x))/(1-cos(x))
- cosx+cos(2x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x^2+5)^(3)
- cos[x/3]
- cos(x*sqrt(6))+sin(x*sqrt(6))
- cos(x)/8
- cos(5*x)+sin(5*x)
- Coseno cos
- cos(x^2+5)^(3)
- cos[x/3]
- cos(x*sqrt(6))+sin(x*sqrt(6))
- cos(x)/8
- cos(5*x)+sin(5*x)
Gráfico de la función y = cos(x)+cos(2x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = cos(x) + cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
f = cos(x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \pi$$
$$x_{6} = \frac{5 \pi}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -40.8407044009017$$
$$x_{2} = -9.42477812311019$$
$$x_{3} = 53.4070753369186$$
$$x_{4} = 82.7286065445312$$
$$x_{5} = -57.5958653158129$$
$$x_{6} = -99.4837673636768$$
$$x_{7} = 34.5575190335478$$
$$x_{8} = -13.6135681655558$$
$$x_{9} = 70.162235930172$$
$$x_{10} = -84.8230022421807$$
$$x_{11} = 97.389372486408$$
$$x_{12} = 80.634211442138$$
$$x_{13} = 59.6902605931502$$
$$x_{14} = 63.8790506229925$$
$$x_{15} = -97.3893724356252$$
$$x_{16} = 3.14159267447126$$
$$x_{17} = -74.3510261349584$$
$$x_{18} = -19.8967534727354$$
$$x_{19} = 40.8407042778045$$
$$x_{20} = -40.8407044128941$$
$$x_{21} = 32.4631240870945$$
$$x_{22} = 15.7079634367135$$
$$x_{23} = -40.8407047547408$$
$$x_{24} = 9.42477818680547$$
$$x_{25} = 36.6519142918809$$
$$x_{26} = -84.8230014829768$$
$$x_{27} = 107.86134777325$$
$$x_{28} = -40.8407049942712$$
$$x_{29} = -55.5014702134197$$
$$x_{30} = 17.8023583703422$$
$$x_{31} = 91.1061868861836$$
$$x_{32} = 55.5014702134197$$
$$x_{33} = 30.3687289847013$$
$$x_{34} = -72.256630877064$$
$$x_{35} = -53.4070752795041$$
$$x_{36} = 38.7463093942741$$
$$x_{37} = 19.8967534727354$$
$$x_{38} = 57.5958653158129$$
$$x_{39} = 26.1799387799149$$
$$x_{40} = -84.8230015251551$$
$$x_{41} = -93.2005820564972$$
$$x_{42} = 24.0855436775217$$
$$x_{43} = 61.7846555205993$$
$$x_{44} = 21.9911485973609$$
$$x_{45} = 47.1238897752019$$
$$x_{46} = -63.8790506229925$$
$$x_{47} = -30.3687289847013$$
$$x_{48} = 28.2743338652086$$
$$x_{49} = 65.9734457528689$$
$$x_{50} = -17.8023583703422$$
$$x_{51} = -646.120889088301$$
$$x_{52} = 78.5398161904624$$
$$x_{53} = 13.6135681655558$$
$$x_{54} = -719.424718069224$$
$$x_{55} = 91.1061868116125$$
$$x_{56} = 99.4837673636768$$
$$x_{57} = -21.9911485864549$$
$$x_{58} = -32.4631240870945$$
$$x_{59} = -68.0678408277789$$
$$x_{60} = -47.1238900222279$$
$$x_{61} = -5.23598775598299$$
$$x_{62} = -28.2743337200245$$
$$x_{63} = -49.2182849062401$$
$$x_{64} = 47.1238894268221$$
$$x_{65} = -3.14159287255706$$
$$x_{66} = 74.3510261349584$$
$$x_{67} = 3.14159271706432$$
$$x_{68} = -24.0855436775217$$
$$x_{69} = -61.7846555205993$$
$$x_{70} = -91.1061871711313$$
$$x_{71} = 47.1238901206303$$
$$x_{72} = 91.1061869261407$$
$$x_{73} = 72.2566310277195$$
$$x_{74} = -65.9734457650482$$
$$x_{75} = -70.162235930172$$
$$x_{76} = -59.690260457585$$
$$x_{77} = 3.14159322994749$$
$$x_{78} = -15.7079632965016$$
$$x_{79} = -78.5398161151012$$
$$x_{80} = -95.2949771588904$$
$$x_{81} = 68.0678408277789$$
$$x_{82} = 3.14159276530697$$
$$x_{83} = -34.5575189638817$$
$$x_{84} = -76.4454212373516$$
$$x_{85} = 47.1238898268985$$
$$x_{86} = -7.33038285837618$$
$$x_{87} = 91.1061863890352$$
$$x_{88} = 84.8230014287926$$
$$x_{89} = -11.5191730631626$$
$$x_{90} = 11.5191730631626$$
$$x_{91} = -26.1799387799149$$
$$x_{92} = 21.9911485851931$$
$$x_{93} = 76.4454212373516$$
$$x_{94} = -47.1238905036874$$
$$x_{95} = -51.3126800086333$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \pi$$
$$x_{6} = \frac{5 \pi}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -40.8407044009017$$
$$x_{2} = -9.42477812311019$$
$$x_{3} = 53.4070753369186$$
$$x_{4} = 82.7286065445312$$
$$x_{5} = -57.5958653158129$$
$$x_{6} = -99.4837673636768$$
$$x_{7} = 34.5575190335478$$
$$x_{8} = -13.6135681655558$$
$$x_{9} = 70.162235930172$$
$$x_{10} = -84.8230022421807$$
$$x_{11} = 97.389372486408$$
$$x_{12} = 80.634211442138$$
$$x_{13} = 59.6902605931502$$
$$x_{14} = 63.8790506229925$$
$$x_{15} = -97.3893724356252$$
$$x_{16} = 3.14159267447126$$
$$x_{17} = -74.3510261349584$$
$$x_{18} = -19.8967534727354$$
$$x_{19} = 40.8407042778045$$
$$x_{20} = -40.8407044128941$$
$$x_{21} = 32.4631240870945$$
$$x_{22} = 15.7079634367135$$
$$x_{23} = -40.8407047547408$$
$$x_{24} = 9.42477818680547$$
$$x_{25} = 36.6519142918809$$
$$x_{26} = -84.8230014829768$$
$$x_{27} = 107.86134777325$$
$$x_{28} = -40.8407049942712$$
$$x_{29} = -55.5014702134197$$
$$x_{30} = 17.8023583703422$$
$$x_{31} = 91.1061868861836$$
$$x_{32} = 55.5014702134197$$
$$x_{33} = 30.3687289847013$$
$$x_{34} = -72.256630877064$$
$$x_{35} = -53.4070752795041$$
$$x_{36} = 38.7463093942741$$
$$x_{37} = 19.8967534727354$$
$$x_{38} = 57.5958653158129$$
$$x_{39} = 26.1799387799149$$
$$x_{40} = -84.8230015251551$$
$$x_{41} = -93.2005820564972$$
$$x_{42} = 24.0855436775217$$
$$x_{43} = 61.7846555205993$$
$$x_{44} = 21.9911485973609$$
$$x_{45} = 47.1238897752019$$
$$x_{46} = -63.8790506229925$$
$$x_{47} = -30.3687289847013$$
$$x_{48} = 28.2743338652086$$
$$x_{49} = 65.9734457528689$$
$$x_{50} = -17.8023583703422$$
$$x_{51} = -646.120889088301$$
$$x_{52} = 78.5398161904624$$
$$x_{53} = 13.6135681655558$$
$$x_{54} = -719.424718069224$$
$$x_{55} = 91.1061868116125$$
$$x_{56} = 99.4837673636768$$
$$x_{57} = -21.9911485864549$$
$$x_{58} = -32.4631240870945$$
$$x_{59} = -68.0678408277789$$
$$x_{60} = -47.1238900222279$$
$$x_{61} = -5.23598775598299$$
$$x_{62} = -28.2743337200245$$
$$x_{63} = -49.2182849062401$$
$$x_{64} = 47.1238894268221$$
$$x_{65} = -3.14159287255706$$
$$x_{66} = 74.3510261349584$$
$$x_{67} = 3.14159271706432$$
$$x_{68} = -24.0855436775217$$
$$x_{69} = -61.7846555205993$$
$$x_{70} = -91.1061871711313$$
$$x_{71} = 47.1238901206303$$
$$x_{72} = 91.1061869261407$$
$$x_{73} = 72.2566310277195$$
$$x_{74} = -65.9734457650482$$
$$x_{75} = -70.162235930172$$
$$x_{76} = -59.690260457585$$
$$x_{77} = 3.14159322994749$$
$$x_{78} = -15.7079632965016$$
$$x_{79} = -78.5398161151012$$
$$x_{80} = -95.2949771588904$$
$$x_{81} = 68.0678408277789$$
$$x_{82} = 3.14159276530697$$
$$x_{83} = -34.5575189638817$$
$$x_{84} = -76.4454212373516$$
$$x_{85} = 47.1238898268985$$
$$x_{86} = -7.33038285837618$$
$$x_{87} = 91.1061863890352$$
$$x_{88} = 84.8230014287926$$
$$x_{89} = -11.5191730631626$$
$$x_{90} = 11.5191730631626$$
$$x_{91} = -26.1799387799149$$
$$x_{92} = 21.9911485851931$$
$$x_{93} = 76.4454212373516$$
$$x_{94} = -47.1238905036874$$
$$x_{95} = -51.3126800086333$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}$$
$$x_{2} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)
(pi, 0)
/ ____\ / / ____\\ / / ____\\
| 1 I*\/ 15 | | | 1 I*\/ 15 || | | 1 I*\/ 15 ||
(-I*log|- - - --------|, cos|I*log|- - - --------|| + cos|2*I*log|- - - --------||)
\ 4 4 / \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // / ____\ / / ____\\ / / ____\\
| 1 I*\/ 15 | | | 1 I*\/ 15 || | | 1 I*\/ 15 ||
(-I*log|- - + --------|, cos|I*log|- - + --------|| + cos|2*I*log|- - + --------||)
\ 4 4 / \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}$$
$$x_{2} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{129}}{16} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{129}}{16} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{129}}{16} - \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{129}}{16} - \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{- \sqrt{129} - 1} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{-1 + \sqrt{129}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{-1 + \sqrt{129}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{- \sqrt{129} - 1} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{129}}{16} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{129}}{16} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{129}}{16} - \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{129}}{16} - \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{- \sqrt{129} - 1} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{-1 + \sqrt{129}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{-1 + \sqrt{129}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{- \sqrt{129} - 1} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico