Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
- Límite de la función:
-
(-cos(x)+cos(2*x))/(1-cos(x))
-
Expresiones idénticas
- (-cos(x)+cos(dos *x))/(uno -cos(x))
- ( menos coseno de (x) más coseno de (2 multiplicar por x)) dividir por (1 menos coseno de (x))
- ( menos coseno de (x) más coseno de (dos multiplicar por x)) dividir por (uno menos coseno de (x))
- (-cos(x)+cos(2x))/(1-cos(x))
- -cosx+cos2x/1-cosx
- (-cos(x)+cos(2*x)) dividir por (1-cos(x))
-
Expresiones semejantes
- (cos(x)+cos(2*x))/(1-cos(x))
- (-cos(x)-cos(2*x))/(1-cos(x))
- (-cos(x)+cos(2*x))/(1+cos(x))
- (-cosx+cos(2*x))/(1-cosx)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(2*x)-sqrt(3)/2
- cos(2*x*sqrt(2))+sin(2*x*sqrt(2))
- cos(2/x)-2*sin(1/x)+1/x
- cos(4*x)+sin(4*x)
- cos(3*x-1)
- Coseno cos
- cos(2*x)-sqrt(3)/2
- cos(2*x*sqrt(2))+sin(2*x*sqrt(2))
- cos(2/x)-2*sin(1/x)+1/x
- cos(4*x)+sin(4*x)
- cos(3*x-1)
- Coseno cos
- cos(2*x)-sqrt(3)/2
- cos(2*x*sqrt(2))+sin(2*x*sqrt(2))
- cos(2/x)-2*sin(1/x)+1/x
- cos(4*x)+sin(4*x)
- cos(3*x-1)
Gráfico de la función y = (-cos(x)+cos(2*x))/(1-cos(x))
Solución
Ha introducido
[src]
-cos(x) + cos(2*x)
f(x) = ------------------
1 - cos(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}$$
f = (-cos(x) + cos(2*x))/(1 - cos(x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.28318530717959$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.28318530717959$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -29.3215314335047$$
$$x_{2} = 79.5870138909414$$
$$x_{3} = 16.7551608191456$$
$$x_{4} = 67.0206432765823$$
$$x_{5} = -58.6430628670095$$
$$x_{6} = 27.2271363311115$$
$$x_{7} = -4.18879020478639$$
$$x_{8} = -85.870199198121$$
$$x_{9} = -67.0206432765823$$
$$x_{10} = 54.4542726622231$$
$$x_{11} = 71.2094334813686$$
$$x_{12} = -79.5870138909414$$
$$x_{13} = 52.3598775598299$$
$$x_{14} = -60.7374579694027$$
$$x_{15} = 10.471975511966$$
$$x_{16} = 83.7758040957278$$
$$x_{17} = 58.6430628670095$$
$$x_{18} = -73.3038285837618$$
$$x_{19} = -20.943951023932$$
$$x_{20} = 77.4926187885482$$
$$x_{21} = 416.784625376246$$
$$x_{22} = -48.1710873550435$$
$$x_{23} = -8.37758040957278$$
$$x_{24} = 85.870199198121$$
$$x_{25} = -33.5103216382911$$
$$x_{26} = -10.471975511966$$
$$x_{27} = 20.943951023932$$
$$x_{28} = 2.0943951023932$$
$$x_{29} = 96.342174710087$$
$$x_{30} = 33.5103216382911$$
$$x_{31} = -96.342174710087$$
$$x_{32} = -90.0589894029074$$
$$x_{33} = 60.7374579694027$$
$$x_{34} = -14.6607657167524$$
$$x_{35} = 39.7935069454707$$
$$x_{36} = -23.0383461263252$$
$$x_{37} = 4.18879020478639$$
$$x_{38} = 64.9262481741891$$
$$x_{39} = 90.0589894029074$$
$$x_{40} = 8.37758040957278$$
$$x_{41} = 46.0766922526503$$
$$x_{42} = -92.1533845053006$$
$$x_{43} = -2.0943951023932$$
$$x_{44} = 35.6047167406843$$
$$x_{45} = 98.4365698124802$$
$$x_{46} = 23.0383461263252$$
$$x_{47} = -46.0766922526503$$
$$x_{48} = -83.7758040957278$$
$$x_{49} = -52.3598775598299$$
$$x_{50} = 29.3215314335047$$
$$x_{51} = -27.2271363311115$$
$$x_{52} = 41.8879020478639$$
$$x_{53} = -54.4542726622231$$
$$x_{54} = -64.9262481741891$$
$$x_{55} = 92.1533845053006$$
$$x_{56} = -16.7551608191456$$
$$x_{57} = -39.7935069454707$$
$$x_{58} = 48.1710873550435$$
$$x_{59} = -35.6047167406843$$
$$x_{60} = 14.6607657167524$$
$$x_{61} = -41.8879020478639$$
$$x_{62} = -77.4926187885482$$
$$x_{63} = 73.3038285837618$$
$$x_{64} = -98.4365698124802$$
$$x_{65} = -71.2094334813686$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -29.3215314335047$$
$$x_{2} = 79.5870138909414$$
$$x_{3} = 16.7551608191456$$
$$x_{4} = 67.0206432765823$$
$$x_{5} = -58.6430628670095$$
$$x_{6} = 27.2271363311115$$
$$x_{7} = -4.18879020478639$$
$$x_{8} = -85.870199198121$$
$$x_{9} = -67.0206432765823$$
$$x_{10} = 54.4542726622231$$
$$x_{11} = 71.2094334813686$$
$$x_{12} = -79.5870138909414$$
$$x_{13} = 52.3598775598299$$
$$x_{14} = -60.7374579694027$$
$$x_{15} = 10.471975511966$$
$$x_{16} = 83.7758040957278$$
$$x_{17} = 58.6430628670095$$
$$x_{18} = -73.3038285837618$$
$$x_{19} = -20.943951023932$$
$$x_{20} = 77.4926187885482$$
$$x_{21} = 416.784625376246$$
$$x_{22} = -48.1710873550435$$
$$x_{23} = -8.37758040957278$$
$$x_{24} = 85.870199198121$$
$$x_{25} = -33.5103216382911$$
$$x_{26} = -10.471975511966$$
$$x_{27} = 20.943951023932$$
$$x_{28} = 2.0943951023932$$
$$x_{29} = 96.342174710087$$
$$x_{30} = 33.5103216382911$$
$$x_{31} = -96.342174710087$$
$$x_{32} = -90.0589894029074$$
$$x_{33} = 60.7374579694027$$
$$x_{34} = -14.6607657167524$$
$$x_{35} = 39.7935069454707$$
$$x_{36} = -23.0383461263252$$
$$x_{37} = 4.18879020478639$$
$$x_{38} = 64.9262481741891$$
$$x_{39} = 90.0589894029074$$
$$x_{40} = 8.37758040957278$$
$$x_{41} = 46.0766922526503$$
$$x_{42} = -92.1533845053006$$
$$x_{43} = -2.0943951023932$$
$$x_{44} = 35.6047167406843$$
$$x_{45} = 98.4365698124802$$
$$x_{46} = 23.0383461263252$$
$$x_{47} = -46.0766922526503$$
$$x_{48} = -83.7758040957278$$
$$x_{49} = -52.3598775598299$$
$$x_{50} = 29.3215314335047$$
$$x_{51} = -27.2271363311115$$
$$x_{52} = 41.8879020478639$$
$$x_{53} = -54.4542726622231$$
$$x_{54} = -64.9262481741891$$
$$x_{55} = 92.1533845053006$$
$$x_{56} = -16.7551608191456$$
$$x_{57} = -39.7935069454707$$
$$x_{58} = 48.1710873550435$$
$$x_{59} = -35.6047167406843$$
$$x_{60} = 14.6607657167524$$
$$x_{61} = -41.8879020478639$$
$$x_{62} = -77.4926187885482$$
$$x_{63} = 73.3038285837618$$
$$x_{64} = -98.4365698124802$$
$$x_{65} = -71.2094334813686$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} - \frac{\left(- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} - \frac{\left(- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.28318530717959$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = 2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 6.28318530717959^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = 1.22484295148965 \cdot 10^{16}$$
$$\lim_{x \to 6.28318530717959^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = 1.22484295148965 \cdot 10^{16}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.28318530717959$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = 2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 6.28318530717959^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = 1.22484295148965 \cdot 10^{16}$$
$$\lim_{x \to 6.28318530717959^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = 1.22484295148965 \cdot 10^{16}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.28318530717959$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.28318530717959$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-cos(x) + cos(2*x))/(1 - cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = \frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}$$
- Sí
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = \frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}$$
- Sí
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
es
par