Sr Examen

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cos(2/x)-2*sin(1/x)+1/x

Gráfico de la función y = cos(2/x)-2*sin(1/x)+1/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /2\        /1\   1
f(x) = cos|-| - 2*sin|-| + -
          \x/        \x/   x
$$f{\left(x \right)} = \left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) + \frac{1}{x}$$
f = -2*sin(1/x) + cos(2/x) + 1/x
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) + \frac{1}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 1.87561739249046$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2/x) - 2*sin(1/x) + 1/x.
$$\frac{1}{0} + \left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{0} \right)} + \cos{\left(\frac{2}{0} \right)}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) + \frac{1}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) + \frac{1}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2/x) - 2*sin(1/x) + 1/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(2/x)-2*sin(1/x)+1/x