Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos(x-pi/3)+1

Gráfico de la función y = cos(x-pi/3)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\    
f(x) = cos|x - --| + 1
          \    3 /
f(x)=cos⁡(x−π3)+1f{\left(x \right)} = \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 1 
f = cos(x - pi/3) + 1
Gráfico de la función
5.00005.01005.00105.00205.00305.00405.00505.00605.00705.00805.00900.310.33
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x−π3)+1=0\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Solución numérica
x1=−39.7935064774491x_{1} = -39.7935064774491
x2=−77.4926189323297x_{2} = -77.4926189323297
x3=−96.3421752381095x_{3} = -96.3421752381095
x4=54.4542726557069x_{4} = 54.4542726557069
x5=54.4542731772212x_{5} = 54.4542731772212
x6=16.75516131708x_{6} = 16.75516131708
x7=98.4365697036444x_{7} = 98.4365697036444
x8=29.3215317794356x_{8} = 29.3215317794356
x9=85.8701992979325x_{9} = 85.8701992979325
x10=67.0206429182693x_{10} = 67.0206429182693
x11=−14.6607653773517x_{11} = -14.6607653773517
x12=10.4719753854359x_{12} = 10.4719753854359
x13=23.0383465634668x_{13} = 23.0383465634668
x14=23.0383457618207x_{14} = 23.0383457618207
x15=−90.0589898961183x_{15} = -90.0589898961183
x16=−77.4926186337816x_{16} = -77.4926186337816
x17=−33.510321121959x_{17} = -33.510321121959
x18=85.8701993668955x_{18} = 85.8701993668955
x19=−2.09439487552071x_{19} = -2.09439487552071
x20=73.3038281387027x_{20} = 73.3038281387027
x21=73.3038289361328x_{21} = 73.3038289361328
x22=−83.7758040750887x_{22} = -83.7758040750887
x23=35.604716971914x_{23} = 35.604716971914
x24=35.6047158906949x_{24} = 35.6047158906949
x25=−33.5103215424455x_{25} = -33.5103215424455
x26=−14.6607661705898x_{26} = -14.6607661705898
x27=98.4365697615429x_{27} = 98.4365697615429
x28=60.7374584698885x_{28} = 60.7374584698885
x29=79.5870133918867x_{29} = 79.5870133918867
x30=−46.0766920003146x_{30} = -46.0766920003146
x31=54.4542725444797x_{31} = 54.4542725444797
x32=41.8879021371507x_{32} = 41.8879021371507
x33=−71.2094329890238x_{33} = -71.2094329890238
x34=−52.3598781878037x_{34} = -52.3598781878037
x35=−2537730.37448219x_{35} = -2537730.37448219
x36=4.18878981363265x_{36} = 4.18878981363265
x37=−58.6430633250402x_{37} = -58.6430633250402
x38=−2.09439560156919x_{38} = -2.09439560156919
x39=79.5870129226152x_{39} = 79.5870129226152
x40=48.1710874369572x_{40} = 48.1710874369572
x41=10.4719760277638x_{41} = 10.4719760277638
x42=−46.0766921860726x_{42} = -46.0766921860726
x43=35.6047162396481x_{43} = 35.6047162396481
x44=−52.3598780642478x_{44} = -52.3598780642478
x45=79.5870141299736x_{45} = 79.5870141299736
x46=−20.9439513945345x_{46} = -20.9439513945345
x47=−20.9439505916939x_{47} = -20.9439505916939
x48=−83.7758044339049x_{48} = -83.7758044339049
x49=−8.37758018623408x_{49} = -8.37758018623408
x50=41.8879015462722x_{50} = 41.8879015462722
x51=−14.6607653512222x_{51} = -14.6607653512222
x52=85.870198694467x_{52} = 85.870198694467
x53=−96.3421745028061x_{53} = -96.3421745028061
x54=−90.0589893488743x_{54} = -90.0589893488743
x55=92.1533846224853x_{55} = 92.1533846224853
x56=41.8879022469632x_{56} = 41.8879022469632
x57=48.1710878089946x_{57} = 48.1710878089946
x58=60.7374577215862x_{58} = 60.7374577215862
x59=−33.5103217734977x_{59} = -33.5103217734977
x60=48.1710869517551x_{60} = 48.1710869517551
x61=92.1533849512619x_{61} = 92.1533849512619
x62=−46.0766927490392x_{62} = -46.0766927490392
x63=−83.775803621544x_{63} = -83.775803621544
x64=10.4719755542211x_{64} = 10.4719755542211
x65=−90.058989127203x_{65} = -90.058989127203
x66=−96.342175215893x_{66} = -96.342175215893
x67=−71.2094337514317x_{67} = -71.2094337514317
x68=−8.37758091239869x_{68} = -8.37758091239869
x69=29.3215315503859x_{69} = 29.3215315503859
x70=16.7551615795837x_{70} = 16.7551615795837
x71=16.7551602282542x_{71} = 16.7551602282542
x72=−27.227135835892x_{72} = -27.227135835892
x73=−64.9262477469699x_{73} = -64.9262477469699
x74=−58.6430625342279x_{74} = -58.6430625342279
x75=−52.359877344473x_{75} = -52.359877344473
x76=29.3215309839921x_{76} = 29.3215309839921
x77=−77.492618271937x_{77} = -77.492618271937
x78=−8.37758114523565x_{78} = -8.37758114523565
x79=67.0206437185101x_{79} = 67.0206437185101
x80=−83.7758044593608x_{80} = -83.7758044593608
x81=−2.09439502413559x_{81} = -2.09439502413559
x82=−39.7935069083105x_{82} = -39.7935069083105
x83=4.18879026163738x_{83} = 4.18879026163738
x84=−39.793507323436x_{84} = -39.793507323436
x85=−46.0766933186229x_{85} = -46.0766933186229
x86=98.4365703264027x_{86} = 98.4365703264027
x87=16.7551605638403x_{87} = 16.7551605638403
x88=4.18879066607671x_{88} = 4.18879066607671
x89=−108.908544294949x_{89} = -108.908544294949
x90=60.7374591685857x_{90} = 60.7374591685857
x91=−64.9262485507945x_{91} = -64.9262485507945
x92=−27.2271365938325x_{92} = -27.2271365938325
x93=92.1533840908503x_{93} = 92.1533840908503
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x - pi/3) + 1.
cos⁡(−π3)+1\cos{\left(- \frac{\pi}{3} \right)} + 1
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{3}{2}
Punto:
(0, 3/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x−π3)=0- \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 pi         /pi   pi\ 
(--, 1 + cos|-- - --|)
 3          \3    3 / 

 4*pi         /pi   pi\ 
(----, 1 - cos|-- - --|)
  3           \3    3 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4π3x_{1} = \frac{4 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,π3]∪[4π3,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x+π6)=0- \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π6,5π6]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x−π3)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x−π3)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x - pi/3) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x−π3)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x−π3)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x−π3)+1=cos⁡(x+π3)+1\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 1 = \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} + 1
- No
cos⁡(x−π3)+1=−cos⁡(x+π3)−1\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 1 = - \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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