Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- tres *sin^ dos (x)+ cuatro *sin(x)cos(x)+cos^ dos (x)
- 3 multiplicar por seno de al cuadrado (x) más 4 multiplicar por seno de (x) coseno de (x) más coseno de al cuadrado (x)
- tres multiplicar por seno de en el grado dos (x) más cuatro multiplicar por seno de (x) coseno de (x) más coseno de en el grado dos (x)
- 3*sin2(x)+4*sin(x)cos(x)+cos2(x)
- 3*sin2x+4*sinxcosx+cos2x
- 3*sin²(x)+4*sin(x)cos(x)+cos²(x)
- 3*sin en el grado 2(x)+4*sin(x)cos(x)+cos en el grado 2(x)
- 3sin^2(x)+4sin(x)cos(x)+cos^2(x)
- 3sin2(x)+4sin(x)cos(x)+cos2(x)
- 3sin2x+4sinxcosx+cos2x
- 3sin^2x+4sinxcosx+cos^2x
-
Expresiones semejantes
- 3*sin^2(x)+4*sin(x)cos(x)-cos^2(x)
- 3*sin^2(x)-4*sin(x)cos(x)+cos^2(x)
- 3*sin^2(x)+4*sinxcosx+cos^2(x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)+5
- sin(x)-cos(x^2)+(1/4)
- sin(x)*2*x
- sin(x^(3)+x)
- sin(x)*3
- Seno sin
- sin(x)+5
- sin(x)-cos(x^2)+(1/4)
- sin(x)*2*x
- sin(x^(3)+x)
- sin(x)*3
- Coseno cos
- cos(x)+cos(2x)
- cos(x^2+5)^(3)
- cos[x/3]
- cos(x*sqrt(6))+sin(x*sqrt(6))
- cos(x)/8
- Coseno cos
- cos(x)+cos(2x)
- cos(x^2+5)^(3)
- cos[x/3]
- cos(x*sqrt(6))+sin(x*sqrt(6))
- cos(x)/8
Gráfico de la función y = 3*sin^2(x)+4*sin(x)cos(x)+cos^2(x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 f(x) = 3*sin (x) + 4*sin(x)*cos(x) + cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
f = 3*sin(x)^2 + (4*sin(x))*cos(x) + cos(x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(3 - \sqrt{10} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(3 + \sqrt{10} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -38.0208623974742$$
$$x_{2} = -1608.81718919237$$
$$x_{3} = -25.9181393921158$$
$$x_{4} = 81.359658438938$$
$$x_{5} = 96.6039740978861$$
$$x_{6} = -16.0297138223456$$
$$x_{7} = -79.3252145031423$$
$$x_{8} = 93.9260290532972$$
$$x_{9} = -66.2951962797823$$
$$x_{10} = -94.5695301620904$$
$$x_{11} = 56.2269172102196$$
$$x_{12} = -35.3429173528852$$
$$x_{13} = -44.3040477046537$$
$$x_{14} = -22.3128991295252$$
$$x_{15} = -85.1447522013211$$
$$x_{16} = 49.9437319030401$$
$$x_{17} = -0.321750554396642$$
$$x_{18} = -9.74652851516602$$
$$x_{19} = 74.6128255227576$$
$$x_{20} = 68.329640215578$$
$$x_{21} = -85.6083998103219$$
$$x_{22} = -3.92699081698724$$
$$x_{23} = 90.3207887907066$$
$$x_{24} = -73.0420291959627$$
$$x_{25} = 100.209214360477$$
$$x_{26} = -6.60493586157623$$
$$x_{27} = -95.0331777710912$$
$$x_{28} = -41.6261026600648$$
$$x_{29} = 14.9225651045515$$
$$x_{30} = -53.7288256654231$$
$$x_{31} = -19.6349540849362$$
$$x_{32} = 80.8960108299372$$
$$x_{33} = -75.7199742405517$$
$$x_{34} = -19305.4086068637$$
$$x_{35} = -47.9092879672443$$
$$x_{36} = 24.3473430653209$$
$$x_{37} = -82.0031595477313$$
$$x_{38} = 8.63937979737193$$
$$x_{39} = 36.9137136796801$$
$$x_{40} = 15.3862127135523$$
$$x_{41} = 12.2446200599625$$
$$x_{42} = -13.3517687777566$$
$$x_{43} = 27.9525833279115$$
$$x_{44} = 21.6693980207319$$
$$x_{45} = 87.6428437461176$$
$$x_{46} = 84.037603483527$$
$$x_{47} = -31.7376770902946$$
$$x_{48} = -69.4367889333721$$
$$x_{49} = 59.3685098638094$$
$$x_{50} = -51.0508806208341$$
$$x_{51} = -69.9004365423729$$
$$x_{52} = 58.9048622548086$$
$$x_{53} = 52.621676947629$$
$$x_{54} = 5.96143475278294$$
$$x_{55} = 37.3773612886809$$
$$x_{56} = -638.528706842126$$
$$x_{57} = -72.5783815869619$$
$$x_{58} = 46.3384916404494$$
$$x_{59} = -63.6172512351933$$
$$x_{60} = -91.8915851175014$$
$$x_{61} = 2.35619449019234$$
$$x_{62} = 65.651695170989$$
$$x_{63} = 43.6605465958605$$
$$x_{64} = 71.9348804781686$$
$$x_{65} = -97.7111228156802$$
$$x_{66} = 40.0553063332699$$
$$x_{67} = -50.5872330118333$$
$$x_{68} = 30.6305283725005$$
$$x_{69} = -88.2863448549109$$
$$x_{70} = -28.5960844367048$$
$$x_{71} = 18.0641577581413$$
$$x_{72} = 78.2180657853482$$
$$x_{73} = -60.0120109726027$$
$$x_{74} = 62.0464549083984$$
$$x_{75} = 34.2357686350911$$
$$x_{76} = -7.06858347057703$$
$$x_{77} = -57.3340659280137$$
$$x_{78} = -29.0597320457056$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(3 - \sqrt{10} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(3 + \sqrt{10} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -38.0208623974742$$
$$x_{2} = -1608.81718919237$$
$$x_{3} = -25.9181393921158$$
$$x_{4} = 81.359658438938$$
$$x_{5} = 96.6039740978861$$
$$x_{6} = -16.0297138223456$$
$$x_{7} = -79.3252145031423$$
$$x_{8} = 93.9260290532972$$
$$x_{9} = -66.2951962797823$$
$$x_{10} = -94.5695301620904$$
$$x_{11} = 56.2269172102196$$
$$x_{12} = -35.3429173528852$$
$$x_{13} = -44.3040477046537$$
$$x_{14} = -22.3128991295252$$
$$x_{15} = -85.1447522013211$$
$$x_{16} = 49.9437319030401$$
$$x_{17} = -0.321750554396642$$
$$x_{18} = -9.74652851516602$$
$$x_{19} = 74.6128255227576$$
$$x_{20} = 68.329640215578$$
$$x_{21} = -85.6083998103219$$
$$x_{22} = -3.92699081698724$$
$$x_{23} = 90.3207887907066$$
$$x_{24} = -73.0420291959627$$
$$x_{25} = 100.209214360477$$
$$x_{26} = -6.60493586157623$$
$$x_{27} = -95.0331777710912$$
$$x_{28} = -41.6261026600648$$
$$x_{29} = 14.9225651045515$$
$$x_{30} = -53.7288256654231$$
$$x_{31} = -19.6349540849362$$
$$x_{32} = 80.8960108299372$$
$$x_{33} = -75.7199742405517$$
$$x_{34} = -19305.4086068637$$
$$x_{35} = -47.9092879672443$$
$$x_{36} = 24.3473430653209$$
$$x_{37} = -82.0031595477313$$
$$x_{38} = 8.63937979737193$$
$$x_{39} = 36.9137136796801$$
$$x_{40} = 15.3862127135523$$
$$x_{41} = 12.2446200599625$$
$$x_{42} = -13.3517687777566$$
$$x_{43} = 27.9525833279115$$
$$x_{44} = 21.6693980207319$$
$$x_{45} = 87.6428437461176$$
$$x_{46} = 84.037603483527$$
$$x_{47} = -31.7376770902946$$
$$x_{48} = -69.4367889333721$$
$$x_{49} = 59.3685098638094$$
$$x_{50} = -51.0508806208341$$
$$x_{51} = -69.9004365423729$$
$$x_{52} = 58.9048622548086$$
$$x_{53} = 52.621676947629$$
$$x_{54} = 5.96143475278294$$
$$x_{55} = 37.3773612886809$$
$$x_{56} = -638.528706842126$$
$$x_{57} = -72.5783815869619$$
$$x_{58} = 46.3384916404494$$
$$x_{59} = -63.6172512351933$$
$$x_{60} = -91.8915851175014$$
$$x_{61} = 2.35619449019234$$
$$x_{62} = 65.651695170989$$
$$x_{63} = 43.6605465958605$$
$$x_{64} = 71.9348804781686$$
$$x_{65} = -97.7111228156802$$
$$x_{66} = 40.0553063332699$$
$$x_{67} = -50.5872330118333$$
$$x_{68} = 30.6305283725005$$
$$x_{69} = -88.2863448549109$$
$$x_{70} = -28.5960844367048$$
$$x_{71} = 18.0641577581413$$
$$x_{72} = 78.2180657853482$$
$$x_{73} = -60.0120109726027$$
$$x_{74} = 62.0464549083984$$
$$x_{75} = 34.2357686350911$$
$$x_{76} = -7.06858347057703$$
$$x_{77} = -57.3340659280137$$
$$x_{78} = -29.0597320457056$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
| 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 | 2| | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || 2| | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | | 1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 ||
(-2*atan|- - + ----- + --------------------|, cos |2*atan|- - + ----- + --------------------|| + 3*sin |2*atan|- - + ----- + --------------------|| - 4*cos|2*atan|- - + ----- + --------------------||*sin|2*atan|- - + ----- + --------------------||)
\ 2 2 2 / \ \ 2 2 2 // \ \ 2 2 2 // \ \ 2 2 2 // \ \ 2 2 2 // / ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
|1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 | 2| |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 || 2| |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 ||
(2*atan|- + ----- + --------------------|, cos |2*atan|- + ----- + --------------------|| + 3*sin |2*atan|- + ----- + --------------------|| + 4*cos|2*atan|- + ----- + --------------------||*sin|2*atan|- + ----- + --------------------||)
\2 2 2 / \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // / ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
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|1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 | 2| |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || 2| |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 ||
(2*atan|- - ----- + --------------------|, cos |2*atan|- - ----- + --------------------|| + 3*sin |2*atan|- - ----- + --------------------|| + 4*cos|2*atan|- - ----- + --------------------||*sin|2*atan|- - ----- + --------------------||)
\2 2 2 / \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // / ___________\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| ___ ___ / ___ | | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
|1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 | 2| |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 || 2| |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 || | |1 \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 ||
(2*atan|- + ----- - --------------------|, cos |2*atan|- + ----- - --------------------|| + 3*sin |2*atan|- + ----- - --------------------|| + 4*cos|2*atan|- + ----- - --------------------||*sin|2*atan|- + ----- - --------------------||)
\2 2 2 / \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // \ \2 2 2 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + \sqrt{2} \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 + \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + 2 \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} + 2 + \sqrt{5} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-2 + \sqrt{2} \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + 2 \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} + 2 + \sqrt{5} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + \sqrt{2} \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + \sqrt{2} \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 + \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + 2 \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} + 2 + \sqrt{5} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-2 + \sqrt{2} \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + 2 \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} + 2 + \sqrt{5} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + \sqrt{2} \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -4, 8\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -4, 8\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -4, 8\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -4, 8\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -4, 8\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -4, 8\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -4, 8\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -4, 8\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*sin(x)^2 + (4*sin(x))*cos(x) + cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} = 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} = - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} = 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} = - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar