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Trazado el gráfico de la función/ cosx-x^3+2

Gráfico de la función y = cosx-x^3+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 3    
f(x) = cos(x) - x  + 2
f(x)=(−x3+cos⁡(x))+2f{\left(x \right)} = \left(- x^{3} + \cos{\left(x \right)}\right) + 2 
f = -x^3 + cos(x) + 2
Gráfico de la función
1.002.001.101.201.301.401.501.601.701.801.90-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x3+cos⁡(x))+2=0\left(- x^{3} + \cos{\left(x \right)}\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.31159436345714x_{1} = 1.31159436345714
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) - x^3 + 2.
(−03+cos⁡(0))+2\left(- 0^{3} + \cos{\left(0 \right)}\right) + 2
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x2−sin⁡(x)=0- 3 x^{2} - \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.327409774277038x_{1} = -0.327409774277038
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(-0.3274097742770376, 2.98197591160706)

(0, 3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.327409774277038x_{1} = -0.327409774277038
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
[−0.327409774277038,0]\left[-0.327409774277038, 0\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−0.327409774277038]∪[0,∞)\left(-\infty, -0.327409774277038\right] \cup \left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(6x+cos⁡(x))=0- (6 x + \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.164418938260431x_{1} = -0.164418938260431

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−0.164418938260431]\left(-\infty, -0.164418938260431\right]
Convexa en los intervalos
[−0.164418938260431,∞)\left[-0.164418938260431, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x3+cos⁡(x))+2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x^{3} + \cos{\left(x \right)}\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x3+cos⁡(x))+2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{3} + \cos{\left(x \right)}\right) + 2\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) - x^3 + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x3+cos⁡(x))+2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{3} + \cos{\left(x \right)}\right) + 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x3+cos⁡(x))+2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{3} + \cos{\left(x \right)}\right) + 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x3+cos⁡(x))+2=x3+cos⁡(x)+2\left(- x^{3} + \cos{\left(x \right)}\right) + 2 = x^{3} + \cos{\left(x \right)} + 2
- No
(−x3+cos⁡(x))+2=−x3−cos⁡(x)−2\left(- x^{3} + \cos{\left(x \right)}\right) + 2 = - x^{3} - \cos{\left(x \right)} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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