Sr Examen

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cos(x)/1-sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)/1-sin(x)

Gráfico de la función y = cos(x)/1-sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       cos(x)         
f(x) = ------ - sin(x)
         1
f(x)=−sin⁡(x)+cos⁡(x)1f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1} 
f = -sin(x) + cos(x)/1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡(x)+cos⁡(x)1=0- \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=−5.49778714378214x_{1} = -5.49778714378214
x2=73.0420291959627x_{2} = 73.0420291959627
x3=−74.6128255227576x_{3} = -74.6128255227576
x4=−65.1880475619882x_{4} = -65.1880475619882
x5=−46.3384916404494x_{5} = -46.3384916404494
x6=51.0508806208341x_{6} = 51.0508806208341
x7=−55.7632696012188x_{7} = -55.7632696012188
x8=98.174770424681x_{8} = 98.174770424681
x9=−90.3207887907066x_{9} = -90.3207887907066
x10=−68.329640215578x_{10} = -68.329640215578
x11=44.7676953136546x_{11} = 44.7676953136546
x12=66.7588438887831x_{12} = 66.7588438887831
x13=−96.6039740978861x_{13} = -96.6039740978861
x14=−18.0641577581413x_{14} = -18.0641577581413
x15=−27.4889357189107x_{15} = -27.4889357189107
x16=7.06858347057703x_{16} = 7.06858347057703
x17=−11.7809724509617x_{17} = -11.7809724509617
x18=−52.621676947629x_{18} = -52.621676947629
x19=25.9181393921158x_{19} = 25.9181393921158
x20=−40.0553063332699x_{20} = -40.0553063332699
x21=−87.1791961371168x_{21} = -87.1791961371168
x22=41.6261026600648x_{22} = 41.6261026600648
x23=22.776546738526x_{23} = 22.776546738526
x24=3.92699081698724x_{24} = 3.92699081698724
x25=91.8915851175014x_{25} = 91.8915851175014
x26=−2.35619449019234x_{26} = -2.35619449019234
x27=101.316363078271x_{27} = 101.316363078271
x28=16.4933614313464x_{28} = 16.4933614313464
x29=−30.6305283725005x_{29} = -30.6305283725005
x30=13.3517687777566x_{30} = 13.3517687777566
x31=−36.9137136796801x_{31} = -36.9137136796801
x32=82.4668071567321x_{32} = 82.4668071567321
x33=−99.7455667514759x_{33} = -99.7455667514759
x34=1672.11268987317x_{34} = 1672.11268987317
x35=−8.63937979737193x_{35} = -8.63937979737193
x36=10.2101761241668x_{36} = 10.2101761241668
x37=−49.4800842940392x_{37} = -49.4800842940392
x38=19.6349540849362x_{38} = 19.6349540849362
x39=95.0331777710912x_{39} = 95.0331777710912
x40=63.6172512351933x_{40} = 63.6172512351933
x41=−77.7544181763474x_{41} = -77.7544181763474
x42=54.1924732744239x_{42} = 54.1924732744239
x43=−58.9048622548086x_{43} = -58.9048622548086
x44=−43.1968989868597x_{44} = -43.1968989868597
x45=76.1836218495525x_{45} = 76.1836218495525
x46=69.9004365423729x_{46} = 69.9004365423729
x47=88.7499924639117x_{47} = 88.7499924639117
x48=85.6083998103219x_{48} = 85.6083998103219
x49=−14.9225651045515x_{49} = -14.9225651045515
x50=35.3429173528852x_{50} = 35.3429173528852
x51=−228.550865548657x_{51} = -228.550865548657
x52=−62.0464549083984x_{52} = -62.0464549083984
x53=−21.2057504117311x_{53} = -21.2057504117311
x54=57.3340659280137x_{54} = 57.3340659280137
x55=29.0597320457056x_{55} = 29.0597320457056
x56=−84.037603483527x_{56} = -84.037603483527
x57=−71.4712328691678x_{57} = -71.4712328691678
x58=0.785398163397448x_{58} = 0.785398163397448
x59=−24.3473430653209x_{59} = -24.3473430653209
x60=−80.8960108299372x_{60} = -80.8960108299372
x61=60.4756585816035x_{61} = 60.4756585816035
x62=38.484510006475x_{62} = 38.484510006475
x63=−93.4623814442964x_{63} = -93.4623814442964
x64=79.3252145031423x_{64} = 79.3252145031423
x65=−33.7721210260903x_{65} = -33.7721210260903
x66=32.2013246992954x_{66} = 32.2013246992954
x67=47.9092879672443x_{67} = 47.9092879672443
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)/1 - sin(x).
−sin⁡(0)+cos⁡(0)1- \sin{\left(0 \right)} + \frac{\cos{\left(0 \right)}}{1}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)−cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     ___ 
(----, \/ 2 )
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x)−cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/1 - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)+cos⁡(x)1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)+cos⁡(x)1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡(x)+cos⁡(x)1=sin⁡(x)+cos⁡(x)1- \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1}
- No
−sin⁡(x)+cos⁡(x)1=−sin⁡(x)−cos⁡(x)1- \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)/1-sin(x)
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