Sr Examen

Gráfico de la función y = 1+cos(x)/(1-sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             cos(x)  
f(x) = 1 + ----------
           1 - sin(x)
f(x)=1+cos(x)1sin(x)f{\left(x \right)} = 1 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}
f = 1 + cos(x)/(1 - sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1+cos(x)1sin(x)=01 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=3.14159265358979x_{1} = 3.14159265358979
x2=47.1238898038469x_{2} = -47.1238898038469
x3=34.5575191894877x_{3} = -34.5575191894877
x4=65.9734457253857x_{4} = -65.9734457253857
x5=59.6902604182061x_{5} = 59.6902604182061
x6=72.2566310325652x_{6} = 72.2566310325652
x7=91.106186954104x_{7} = 91.106186954104
x8=91.106186954104x_{8} = -91.106186954104
x9=9.42477796076938x_{9} = -9.42477796076938
x10=65.9734457253857x_{10} = 65.9734457253857
x11=21.9911485751286x_{11} = 21.9911485751286
x12=40.8407044966673x_{12} = -40.8407044966673
x13=53.4070751110265x_{13} = -53.4070751110265
x14=97.3893722612836x_{14} = 97.3893722612836
x15=78.5398163397448x_{15} = 78.5398163397448
x16=103.672557568463x_{16} = -103.672557568463
x17=53.4070751110265x_{17} = 53.4070751110265
x18=47.1238898038469x_{18} = 47.1238898038469
x19=28.2743338823081x_{19} = 28.2743338823081
x20=34.5575191894877x_{20} = 34.5575191894877
x21=15.707963267949x_{21} = -15.707963267949
x22=3.14159265358979x_{22} = -3.14159265358979
x23=59.6902604182061x_{23} = -59.6902604182061
x24=28.2743338823081x_{24} = -28.2743338823081
x25=9.42477796076938x_{25} = 9.42477796076938
x26=21.9911485751286x_{26} = -21.9911485751286
x27=15.707963267949x_{27} = 15.707963267949
x28=84.8230016469244x_{28} = 84.8230016469244
x29=78.5398163397448x_{29} = -78.5398163397448
x30=72.2566310325652x_{30} = -72.2566310325652
x31=84.8230016469244x_{31} = -84.8230016469244
x32=97.3893722612836x_{32} = -97.3893722612836
x33=40.8407044966673x_{33} = 40.8407044966673
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 + cos(x)/(1 - sin(x)).
1+cos(0)1sin(0)1 + \frac{\cos{\left(0 \right)}}{1 - \sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin(x)1sin(x)+cos2(x)(1sin(x))2=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(13sin(x)sin(x)12cos2(x)(sin(x)1)2)cos(x)sin(x)1=0\frac{\left(1 - \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949

limx1.5707963267949((13sin(x)sin(x)12cos2(x)(sin(x)1)2)cos(x)sin(x)1)=\lim_{x \to 1.5707963267949^-}\left(\frac{\left(1 - \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) = \infty
limx1.5707963267949+((13sin(x)sin(x)12cos2(x)(sin(x)1)2)cos(x)sin(x)1)=\lim_{x \to 1.5707963267949^+}\left(\frac{\left(1 - \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,)\left[- \frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=limx(1+cos(x)1sin(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=limx(1+cos(x)1sin(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 + cos(x)/(1 - sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(1+cos(x)1sin(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(1+cos(x)1sin(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1+cos(x)1sin(x)=1+cos(x)sin(x)+11 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} = 1 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}
- No
1+cos(x)1sin(x)=1cos(x)sin(x)+11 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} = -1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar