Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (1+cos(x))/(1-sin(x))

Gráfico de la función y = (1+cos(x))/(1-sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       1 + cos(x)
f(x) = ----------
       1 - sin(x)
f(x)=cos⁡(x)+11−sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \sin{\left(x \right)}} 
f = (cos(x) + 1)/(1 - sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)+11−sin⁡(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
Solución numérica
x1=−91.106186681108x_{1} = -91.106186681108
x2=21.9911490338418x_{2} = 21.9911490338418
x3=72.256631027666x_{3} = 72.256631027666
x4=−72.2566304987613x_{4} = -72.2566304987613
x5=−84.8230008566789x_{5} = -84.8230008566789
x6=−15.7079632985002x_{6} = -15.7079632985002
x7=−53.4070737191963x_{7} = -53.4070737191963
x8=84.823002728203x_{8} = 84.823002728203
x9=−91.1061859448485x_{9} = -91.1061859448485
x10=15.7079638137821x_{10} = 15.7079638137821
x11=−3.14159160941489x_{11} = -3.14159160941489
x12=3.14159288856925x_{12} = 3.14159288856925
x13=72.2566314249399x_{13} = 72.2566314249399
x14=53.4070757772139x_{14} = 53.4070757772139
x15=47.1238906284848x_{15} = 47.1238906284848
x16=−3.14159237496889x_{16} = -3.14159237496889
x17=−53.4070747871536x_{17} = -53.4070747871536
x18=9.42477815078717x_{18} = 9.42477815078717
x19=53.4070753040662x_{19} = 53.4070753040662
x20=−47.1238895280478x_{20} = -47.1238895280478
x21=−72.2566309095056x_{21} = -72.2566309095056
x22=3.14159346647846x_{22} = 3.14159346647846
x23=91.1061871944527x_{23} = 91.1061871944527
x24=−97.3893708986472x_{24} = -97.3893708986472
x25=78.5398166734879x_{25} = 78.5398166734879
x26=−28.2743333425357x_{26} = -28.2743333425357
x27=−97.3893719406323x_{27} = -97.3893719406323
x28=−78.5398161559107x_{28} = -78.5398161559107
x29=40.8407037523427x_{29} = 40.8407037523427
x30=97.3893724573035x_{30} = 97.3893724573035
x31=78.53981609769x_{31} = 78.53981609769
x32=78.5398178260203x_{32} = 78.5398178260203
x33=−28.2743337545468x_{33} = -28.2743337545468
x34=−47.1238906431225x_{34} = -47.1238906431225
x35=−34.5575190025373x_{35} = -34.5575190025373
x36=84.8230019312491x_{36} = 84.8230019312491
x37=−59.6902600376794x_{37} = -59.6902600376794
x38=34.5575206430736x_{38} = 34.5575206430736
x39=40.8407047781297x_{39} = 40.8407047781297
x40=59.6902605548735x_{40} = 59.6902605548735
x41=15.7079634002411x_{41} = 15.7079634002411
x42=84.8230009460962x_{42} = 84.8230009460962
x43=21.9911485849902x_{43} = 21.9911485849902
x44=−3.1415934439951x_{44} = -3.1415934439951
x45=−91.1061878452649x_{45} = -91.1061878452649
x46=65.9734461889958x_{46} = 65.9734461889958
x47=−59.6902604615253x_{47} = -59.6902604615253
x48=−40.8407036952393x_{48} = -40.8407036952393
x49=−9.42477653864305x_{49} = -9.42477653864305
x50=9.42477861877909x_{50} = 9.42477861877909
x51=−47.1238887773929x_{51} = -47.1238887773929
x52=65.9734457514226x_{52} = 65.9734457514226
x53=−65.9734452762738x_{53} = -65.9734452762738
x54=−21.9911481212476x_{54} = -21.9911481212476
x55=−84.8230014173292x_{55} = -84.8230014173292
x56=40.8407055591089x_{56} = 40.8407055591089
x57=91.1061877907903x_{57} = 91.1061877907903
x58=34.5575189278379x_{58} = 34.5575189278379
x59=28.2743342706857x_{59} = 28.2743342706857
x60=−65.9734457686436x_{60} = -65.9734457686436
x61=−53.4070754145189x_{61} = -53.4070754145189
x62=97.3893729358167x_{62} = 97.3893729358167
x63=−97.3893725871436x_{63} = -97.3893725871436
x64=−9.42477824287903x_{64} = -9.42477824287903
x65=34.5575195199057x_{65} = 34.5575195199057
x66=59.6902609701947x_{66} = 59.6902609701947
x67=−9.42477763364125x_{67} = -9.42477763364125
x68=−78.5398156976101x_{68} = -78.5398156976101
x69=−34.5575185394937x_{69} = -34.5575185394937
x70=−40.8407042643771x_{70} = -40.8407042643771
x71=28.2743338645174x_{71} = 28.2743338645174
x72=−21.9911485867267x_{72} = -21.9911485867267
x73=47.1238900415119x_{73} = 47.1238900415119
x74=−15.7079628835204x_{74} = -15.7079628835204
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 + cos(x))/(1 - sin(x)).
1+cos⁡(0)1−sin⁡(0)\frac{1 + \cos{\left(0 \right)}}{1 - \sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)1−sin⁡(x)+(cos⁡(x)+1)cos⁡(x)(1−sin⁡(x))2=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
cos⁡(x)−(sin⁡(x)+2cos⁡2(x)sin⁡(x)−1)(cos⁡(x)+1)sin⁡(x)−1−2sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡(x)−1sin⁡(x)−1=0\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{\sin{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}}{\sin{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+11−sin⁡(x))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \sin{\left(x \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+11−sin⁡(x))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \sin{\left(x \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + cos(x))/(1 - sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+1x(1−sin⁡(x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+1x(1−sin⁡(x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)+11−sin⁡(x)=cos⁡(x)+1sin⁡(x)+1\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \sin{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)} + 1}
- No
cos⁡(x)+11−sin⁡(x)=−cos⁡(x)+1sin⁡(x)+1\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{1 - \sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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