Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
- Derivada de:
-
sin(x)^(2)*cos(x)^(2)
-
Expresiones idénticas
- sin(x)^(dos)*cos(x)^(dos)
- seno de (x) en el grado (2) multiplicar por coseno de (x) en el grado (2)
- seno de (x) en el grado (dos) multiplicar por coseno de (x) en el grado (dos)
- sin(x)(2)*cos(x)(2)
- sinx2*cosx2
- sin(x)^(2)cos(x)^(2)
- sin(x)(2)cos(x)(2)
- sinx2cosx2
- sinx^2cosx^2
-
Expresiones semejantes
- sinx^(2)*cosx^(2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)^(1/3)
- sin(x)+3*cos(x)
- sin(x)^4+cos(x)^4
- sin(cos(3*x))^(2)+2*pi
- sin(x)+1/3*sin(3*x)
- Coseno cos
- cos(x)+sqrt(2)/2
- cos(x)-1/3
- cos(x)*e^x
- cos(x)/1-sin(x)
- cos(x*sqrt(6))+sin(x*sqrt(6))
Gráfico de la función y = sin(x)^(2)*cos(x)^(2)
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 f(x) = sin (x)*cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^2*cos(x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6.28318518328035$$
$$x_{2} = 14.1371670778185$$
$$x_{3} = 12.5663704969137$$
$$x_{4} = -81.6814090370675$$
$$x_{5} = -89.5353907315491$$
$$x_{6} = -59.6902604569585$$
$$x_{7} = 37.6991119665793$$
$$x_{8} = -97.3893725907902$$
$$x_{9} = -75.3982237985682$$
$$x_{10} = -37.6991118766796$$
$$x_{11} = 78.5398162225044$$
$$x_{12} = -1.57079626356835$$
$$x_{13} = 6.28318528443138$$
$$x_{14} = 26.7035375390573$$
$$x_{15} = -7.85398150696156$$
$$x_{16} = -83.2522051669813$$
$$x_{17} = -97.3893723711949$$
$$x_{18} = -86.3937978789102$$
$$x_{19} = -100.530965206253$$
$$x_{20} = 15.7079633917898$$
$$x_{21} = 50.2654824463816$$
$$x_{22} = -29.8451301000724$$
$$x_{23} = -21.9911485864927$$
$$x_{24} = -95.818575868455$$
$$x_{25} = -72.2566309100272$$
$$x_{26} = -53.4070752253874$$
$$x_{27} = 23.5619449483644$$
$$x_{28} = 45.5530935075531$$
$$x_{29} = -64.402649310466$$
$$x_{30} = -28.2743337586152$$
$$x_{31} = 80.1106131511482$$
$$x_{32} = -42.4115007432387$$
$$x_{33} = 64.4026493150839$$
$$x_{34} = -67.5442421539445$$
$$x_{35} = 34.5575190717885$$
$$x_{36} = -45.5530935761698$$
$$x_{37} = 0$$
$$x_{38} = 65.9734457525462$$
$$x_{39} = -87.9645943594276$$
$$x_{40} = 59.690260541069$$
$$x_{41} = 28.2743338652921$$
$$x_{42} = 86.3937978937855$$
$$x_{43} = 29.8451303084991$$
$$x_{44} = 95.8185760424586$$
$$x_{45} = 92.6769832182628$$
$$x_{46} = 20.4203521581227$$
$$x_{47} = 48.6946860958663$$
$$x_{48} = 81.6814091152362$$
$$x_{49} = -43.9822971747455$$
$$x_{50} = -17.2787595621355$$
$$x_{51} = -51.8362786915081$$
$$x_{52} = -1.57079642013166$$
$$x_{53} = 4.71238898608896$$
$$x_{54} = 70.6858338406532$$
$$x_{55} = -50.2654823342013$$
$$x_{56} = -58.1194640062544$$
$$x_{57} = 67.5442420634706$$
$$x_{58} = -15.7079632962205$$
$$x_{59} = -73.8274272808521$$
$$x_{60} = 73.8274274646672$$
$$x_{61} = -39.2699081045218$$
$$x_{62} = 21.9911485851564$$
$$x_{63} = 95.8185756842062$$
$$x_{64} = 56.5486676469942$$
$$x_{65} = 42.4115007365289$$
$$x_{66} = -94.247779486083$$
$$x_{67} = 89.5353906153414$$
$$x_{68} = -14.1371668484631$$
$$x_{69} = -20.4203521774723$$
$$x_{70} = 43.9822971692691$$
$$x_{71} = 36.1283154718409$$
$$x_{72} = 72.2566310277248$$
$$x_{73} = -80.1106125854791$$
$$x_{74} = -58.1194645366003$$
$$x_{75} = -23.5619449982306$$
$$x_{76} = 7.85398173011892$$
$$x_{77} = 51.8362788866811$$
$$x_{78} = 100.530964798296$$
$$x_{79} = 87.9645943351391$$
$$x_{80} = -36.128315427252$$
$$x_{81} = 94.247779609353$$
$$x_{82} = -65.9734457653935$$
$$x_{83} = 1.57079638652515$$
$$x_{84} = 72.256630710694$$
$$x_{85} = -31.4159266517141$$
$$x_{86} = -61.2610566398387$$
$$x_{87} = 117.809724442492$$
$$x_{88} = -9.42477807759933$$
$$x_{89} = 70.6858346557926$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6.28318518328035$$
$$x_{2} = 14.1371670778185$$
$$x_{3} = 12.5663704969137$$
$$x_{4} = -81.6814090370675$$
$$x_{5} = -89.5353907315491$$
$$x_{6} = -59.6902604569585$$
$$x_{7} = 37.6991119665793$$
$$x_{8} = -97.3893725907902$$
$$x_{9} = -75.3982237985682$$
$$x_{10} = -37.6991118766796$$
$$x_{11} = 78.5398162225044$$
$$x_{12} = -1.57079626356835$$
$$x_{13} = 6.28318528443138$$
$$x_{14} = 26.7035375390573$$
$$x_{15} = -7.85398150696156$$
$$x_{16} = -83.2522051669813$$
$$x_{17} = -97.3893723711949$$
$$x_{18} = -86.3937978789102$$
$$x_{19} = -100.530965206253$$
$$x_{20} = 15.7079633917898$$
$$x_{21} = 50.2654824463816$$
$$x_{22} = -29.8451301000724$$
$$x_{23} = -21.9911485864927$$
$$x_{24} = -95.818575868455$$
$$x_{25} = -72.2566309100272$$
$$x_{26} = -53.4070752253874$$
$$x_{27} = 23.5619449483644$$
$$x_{28} = 45.5530935075531$$
$$x_{29} = -64.402649310466$$
$$x_{30} = -28.2743337586152$$
$$x_{31} = 80.1106131511482$$
$$x_{32} = -42.4115007432387$$
$$x_{33} = 64.4026493150839$$
$$x_{34} = -67.5442421539445$$
$$x_{35} = 34.5575190717885$$
$$x_{36} = -45.5530935761698$$
$$x_{37} = 0$$
$$x_{38} = 65.9734457525462$$
$$x_{39} = -87.9645943594276$$
$$x_{40} = 59.690260541069$$
$$x_{41} = 28.2743338652921$$
$$x_{42} = 86.3937978937855$$
$$x_{43} = 29.8451303084991$$
$$x_{44} = 95.8185760424586$$
$$x_{45} = 92.6769832182628$$
$$x_{46} = 20.4203521581227$$
$$x_{47} = 48.6946860958663$$
$$x_{48} = 81.6814091152362$$
$$x_{49} = -43.9822971747455$$
$$x_{50} = -17.2787595621355$$
$$x_{51} = -51.8362786915081$$
$$x_{52} = -1.57079642013166$$
$$x_{53} = 4.71238898608896$$
$$x_{54} = 70.6858338406532$$
$$x_{55} = -50.2654823342013$$
$$x_{56} = -58.1194640062544$$
$$x_{57} = 67.5442420634706$$
$$x_{58} = -15.7079632962205$$
$$x_{59} = -73.8274272808521$$
$$x_{60} = 73.8274274646672$$
$$x_{61} = -39.2699081045218$$
$$x_{62} = 21.9911485851564$$
$$x_{63} = 95.8185756842062$$
$$x_{64} = 56.5486676469942$$
$$x_{65} = 42.4115007365289$$
$$x_{66} = -94.247779486083$$
$$x_{67} = 89.5353906153414$$
$$x_{68} = -14.1371668484631$$
$$x_{69} = -20.4203521774723$$
$$x_{70} = 43.9822971692691$$
$$x_{71} = 36.1283154718409$$
$$x_{72} = 72.2566310277248$$
$$x_{73} = -80.1106125854791$$
$$x_{74} = -58.1194645366003$$
$$x_{75} = -23.5619449982306$$
$$x_{76} = 7.85398173011892$$
$$x_{77} = 51.8362788866811$$
$$x_{78} = 100.530964798296$$
$$x_{79} = 87.9645943351391$$
$$x_{80} = -36.128315427252$$
$$x_{81} = 94.247779609353$$
$$x_{82} = -65.9734457653935$$
$$x_{83} = 1.57079638652515$$
$$x_{84} = 72.256630710694$$
$$x_{85} = -31.4159266517141$$
$$x_{86} = -61.2610566398387$$
$$x_{87} = 117.809724442492$$
$$x_{88} = -9.42477807759933$$
$$x_{89} = 70.6858346557926$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
-3*pi (-----, 1/4) 4
-pi (----, 0) 2
-pi (----, 1/4) 4
pi (--, 1/4) 4
pi (--, 0) 2
3*pi (----, 1/4) 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} - \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{7} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} - \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}$$
$$x_{7} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}\right]$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2*cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Sí
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Sí
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico