Sr Examen

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sin(pi*x)/2
Trazado el gráfico de la función/ sin(pi*x)/2

Gráfico de la función y = sin(pi*x)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(pi*x)
f(x) = ---------
           2
f(x)=sin⁡(πx)2f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2} 
f = sin(pi*x)/2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(πx)2=0\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−56x_{1} = -56
x2=18x_{2} = 18
x3=−66x_{3} = -66
x4=16x_{4} = 16
x5=26x_{5} = 26
x6=−42x_{6} = -42
x7=−30x_{7} = -30
x8=70x_{8} = 70
x9=−46x_{9} = -46
x10=6x_{10} = 6
x11=−38x_{11} = -38
x12=−28x_{12} = -28
x13=72x_{13} = 72
x14=96x_{14} = 96
x15=100x_{15} = 100
x16=−100x_{16} = -100
x17=22x_{17} = 22
x18=−92x_{18} = -92
x19=−24x_{19} = -24
x20=−34x_{20} = -34
x21=76x_{21} = 76
x22=−4x_{22} = -4
x23=38x_{23} = 38
x24=−84x_{24} = -84
x25=−86x_{25} = -86
x26=−70x_{26} = -70
x27=46x_{27} = 46
x28=80x_{28} = 80
x29=44x_{29} = 44
x30=−60x_{30} = -60
x31=−74x_{31} = -74
x32=−26x_{32} = -26
x33=−80x_{33} = -80
x34=8x_{34} = 8
x35=−82x_{35} = -82
x36=−54x_{36} = -54
x37=−18x_{37} = -18
x38=52x_{38} = 52
x39=−64x_{39} = -64
x40=92x_{40} = 92
x41=82x_{41} = 82
x42=−94x_{42} = -94
x43=0x_{43} = 0
x44=24x_{44} = 24
x45=90x_{45} = 90
x46=36x_{46} = 36
x47=84x_{47} = 84
x48=88x_{48} = 88
x49=−22x_{49} = -22
x50=68x_{50} = 68
x51=−98x_{51} = -98
x52=86x_{52} = 86
x53=58x_{53} = 58
x54=14x_{54} = 14
x55=42x_{55} = 42
x56=48x_{56} = 48
x57=−20x_{57} = -20
x58=−52x_{58} = -52
x59=−40x_{59} = -40
x60=32x_{60} = 32
x61=−62x_{61} = -62
x62=50x_{62} = 50
x63=78x_{63} = 78
x64=40x_{64} = 40
x65=56x_{65} = 56
x66=−14x_{66} = -14
x67=−58x_{67} = -58
x68=−48x_{68} = -48
x69=62x_{69} = 62
x70=−10x_{70} = -10
x71=−76x_{71} = -76
x72=74x_{72} = 74
x73=2x_{73} = 2
x74=34x_{74} = 34
x75=10x_{75} = 10
x76=−90x_{76} = -90
x77=−8x_{77} = -8
x78=28x_{78} = 28
x79=−36x_{79} = -36
x80=60x_{80} = 60
x81=98x_{81} = 98
x82=−50x_{82} = -50
x83=−68x_{83} = -68
x84=−32x_{84} = -32
x85=−44x_{85} = -44
x86=−2x_{86} = -2
x87=4x_{87} = 4
x88=−78x_{88} = -78
x89=64x_{89} = 64
x90=−12x_{90} = -12
x91=54x_{91} = 54
x92=−72x_{92} = -72
x93=−88x_{93} = -88
x94=66x_{94} = 66
x95=−6x_{95} = -6
x96=−16x_{96} = -16
x97=30x_{97} = 30
x98=12x_{98} = 12
x99=94x_{99} = 94
x100=20x_{100} = 20
x101=−96x_{101} = -96
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
πcos⁡(πx)2=0\frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
x2=32x_{2} = \frac{3}{2}
Signos de extremos en los puntos:
      1 
(1/2, -)
      2 

(3/2, -1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,12]∪[32,∞)\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[12,32]\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−π2sin⁡(πx)2=0- \frac{\pi^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,1]\left[0, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(πx)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(πx)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(pi*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(πx)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(πx)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(πx)2=−sin⁡(πx)2\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2} = - \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2}
- No
sin⁡(πx)2=sin⁡(πx)2\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2} = \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(pi*x)/2
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