Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (1/4)*(1-sin((pi*x)/(2*pi)))

Gráfico de la función y = (1/4)*(1-sin((pi*x)/(2*pi)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /pi*x\
       1 - sin|----|
              \2*pi/
f(x) = -------------
             4
f(x)=1−sin⁡(πx2π)4f{\left(x \right)} = \frac{1 - \sin{\left(\frac{\pi x}{2 \pi} \right)}}{4} 
f = (1 - sin((pi*x)/((2*pi))))/4
Gráfico de la función
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.000.000.50
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−sin⁡(πx2π)4=0\frac{1 - \sin{\left(\frac{\pi x}{2 \pi} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
Solución numérica
x1=−47.1238907880697x_{1} = -47.1238907880697
x2=15.7079642015151x_{2} = 15.7079642015151
x3=−9.42477695202933x_{3} = -9.42477695202933
x4=78.5398173426089x_{4} = 78.5398173426089
x5=65.9734449700497x_{5} = 65.9734449700497
x6=91.1061865344779x_{6} = 91.1061865344779
x7=3.14159309886503x_{7} = 3.14159309886503
x8=15.707964515786x_{8} = 15.707964515786
x9=28.2743330336433x_{9} = 28.2743330336433
x10=−9.42477888681821x_{10} = -9.42477888681821
x11=−59.6902612768606x_{11} = -59.6902612768606
x12=15.7079634545545x_{12} = 15.7079634545545
x13=28.2743331152018x_{13} = 28.2743331152018
x14=−34.5575202139462x_{14} = -34.5575202139462
x15=−59.6902594740223x_{15} = -59.6902594740223
x16=−9.42477728929078x_{16} = -9.42477728929078
x17=78.5398170241526x_{17} = 78.5398170241526
x18=65.973446491358x_{18} = 65.973446491358
x19=−72.2566334561862x_{19} = -72.2566334561862
x20=40.8407056713041x_{20} = 40.8407056713041
x21=3.14159420425446x_{21} = 3.14159420425446
x22=53.4070761022138x_{22} = 53.4070761022138
x23=91.1061882841015x_{23} = 91.1061882841015
x24=−21.9911485864393x_{24} = -21.9911485864393
x25=−84.8230006270304x_{25} = -84.8230006270304
x26=−185.353961803293x_{26} = -185.353961803293
x27=−47.123889537864x_{27} = -47.123889537864
x28=65.9734465921985x_{28} = 65.9734465921985
x29=15.7079622686986x_{29} = 15.7079622686986
x30=40.840705066392x_{30} = 40.840705066392
x31=−21.9911493421841x_{31} = -21.9911493421841
x32=−59.690260457841x_{32} = -59.690260457841
x33=53.4070740857414x_{33} = 53.4070740857414
x34=53.4070745656255x_{34} = 53.4070745656255
x35=−84.8229998635885x_{35} = -84.8229998635885
x36=−47.1238901219454x_{36} = -47.1238901219454
x37=−84.8230020968984x_{37} = -84.8230020968984
x38=15.7079637526952x_{38} = 15.7079637526952
x39=−97.389371602892x_{39} = -97.389371602892
x40=−9.42477813898924x_{40} = -9.42477813898924
x41=40.8407035181637x_{41} = 40.8407035181637
x42=78.5398162375612x_{42} = 78.5398162375612
x43=91.1061853899956x_{43} = 91.1061853899956
x44=−9.4247756652542x_{44} = -9.4247756652542
x45=15.7079626060796x_{45} = 15.7079626060796
x46=−34.5575188772018x_{46} = -34.5575188772018
x47=−47.1238918185856x_{47} = -47.1238918185856
x48=−72.2566320255231x_{48} = -72.2566320255231
x49=40.8407055286336x_{49} = 40.8407055286336
x50=3.14159163746103x_{50} = 3.14159163746103
x51=28.2743348137489x_{51} = 28.2743348137489
x52=3.14159131070869x_{52} = 3.14159131070869
x53=−84.8230012168657x_{53} = -84.8230012168657
x54=−21.9911477182159x_{54} = -21.9911477182159
x55=65.9734457530019x_{55} = 65.9734457530019
x56=91.1061874144797x_{56} = 91.1061874144797
x57=−47.1238892482917x_{57} = -47.1238892482917
x58=−34.5575192441112x_{58} = -34.5575192441112
x59=−21.9911477831607x_{59} = -21.9911477831607
x60=28.2743346582797x_{60} = 28.2743346582797
x61=−47.1238887712007x_{61} = -47.1238887712007
x62=−72.2566301070981x_{62} = -72.2566301070981
x63=−97.3893724564835x_{63} = -97.3893724564835
x64=−72.2566317074393x_{64} = -72.2566317074393
x65=−72.2566304993376x_{65} = -72.2566304993376
x66=−72.2566308637416x_{66} = -72.2566308637416
x67=−84.8230026657071x_{67} = -84.8230026657071
x68=16741.5472539237x_{68} = 16741.5472539237
x69=103.672556563684x_{69} = 103.672556563684
x70=40.840704648726x_{70} = 40.840704648726
x71=−97.389373195247x_{71} = -97.389373195247
x72=91.106187979742x_{72} = 91.106187979742
x73=78.5398154218754x_{73} = 78.5398154218754
x74=40.8407041945824x_{74} = 40.8407041945824
x75=91.1061859410303x_{75} = 91.1061859410303
x76=53.4070754394033x_{76} = 53.4070754394033
x77=−21.9911494917557x_{77} = -21.9911494917557
x78=53.4070749521362x_{78} = 53.4070749521362
x79=−59.6902596538675x_{79} = -59.6902596538675
x80=3.14159367655067x_{80} = 3.14159367655067
x81=15.7079632663563x_{81} = 15.7079632663563
x82=−9.42477839608986x_{82} = -9.42477839608986
x83=78.5398161786998x_{83} = 78.5398161786998
x84=−34.5575197491116x_{84} = -34.5575197491116
x85=28.2743338651742x_{85} = 28.2743338651742
x86=−59.6902611573573x_{86} = -59.6902611573573
x87=65.9734447951365x_{87} = 65.9734447951365
x88=−34.5575182039711x_{88} = -34.5575182039711
x89=−97.3893712473886x_{89} = -97.3893712473886
x90=14944.5562553885x_{90} = 14944.5562553885
x91=−84.8230027834212x_{91} = -84.8230027834212
x92=78.539815851887x_{92} = 78.539815851887
x93=53.40707409148x_{93} = 53.40707409148
x94=3.14159221873501x_{94} = 3.14159221873501
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 - sin((pi*x)/((2*pi))))/4.
1−sin⁡(0π2π)4\frac{1 - \sin{\left(\frac{0 \pi}{2 \pi} \right)}}{4}
Resultado:
f(0)=14f{\left(0 \right)} = \frac{1}{4}
Punto:
(0, 1/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cos⁡(πx2π)8=0- \frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2 \pi} \right)}}{8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Signos de extremos en los puntos:
            /  2  1  \ 
         sin|pi *----| 
     1      \    2*pi/ 
(pi, - - -------------)
     4         4       

              /    2  1  \ 
           sin|3*pi *----| 
       1      \      2*pi/ 
(3*pi, - - ---------------)
       4          4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=3πx_{1} = 3 \pi
Decrece en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x2)16=0\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,0]∪[2π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−sin⁡(πx2π)4)=⟨0,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \sin{\left(\frac{\pi x}{2 \pi} \right)}}{4}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,12⟩y = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(1−sin⁡(πx2π)4)=⟨0,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \sin{\left(\frac{\pi x}{2 \pi} \right)}}{4}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,12⟩y = \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - sin((pi*x)/((2*pi))))/4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−sin⁡(πx2π)4x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \sin{\left(\frac{\pi x}{2 \pi} \right)}}{4 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1−sin⁡(πx2π)4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \sin{\left(\frac{\pi x}{2 \pi} \right)}}{4 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−sin⁡(πx2π)4=sin⁡(x2)4+14\frac{1 - \sin{\left(\frac{\pi x}{2 \pi} \right)}}{4} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4}
- No
1−sin⁡(πx2π)4=−sin⁡(x2)4−14\frac{1 - \sin{\left(\frac{\pi x}{2 \pi} \right)}}{4} = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{1}{4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор