Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ pi*(1-sqrt(1-exp(2*x*pi^2))-exp(2*x*pi^2))/(1-exp(2*x*pi^2))

Gráfico de la función y = pi*(1-sqrt(1-exp(2*x*pi^2))-exp(2*x*pi^2))/(1-exp(2*x*pi^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /        ______________           \
          |       /            2           2|
          |      /       2*x*pi      2*x*pi |
       pi*\1 - \/   1 - e         - e       /
f(x) = --------------------------------------
                               2             
                         2*x*pi              
                    1 - e
f(x)=π((1−1−eπ2⋅2x)−eπ2⋅2x)1−eπ2⋅2xf{\left(x \right)} = \frac{\pi \left(\left(1 - \sqrt{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)}{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}} 
f = (pi*(1 - sqrt(1 - exp(pi^2*(2*x))) - exp(pi^2*(2*x))))/(1 - exp(pi^2*(2*x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
π((1−1−eπ2⋅2x)−eπ2⋅2x)1−eπ2⋅2x=0\frac{\pi \left(\left(1 - \sqrt{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)}{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−8x_{1} = -8
x2=−48x_{2} = -48
x3=−74x_{3} = -74
x4=−2.99954132432051x_{4} = -2.99954132432051
x5=−96x_{5} = -96
x6=−36x_{6} = -36
x7=−22x_{7} = -22
x8=−28x_{8} = -28
x9=−52x_{9} = -52
x10=−66x_{10} = -66
x11=−50x_{11} = -50
x12=−26x_{12} = -26
x13=−40x_{13} = -40
x14=−16x_{14} = -16
x15=−2.43068958312726⋅1026x_{15} = -2.43068958312726 \cdot 10^{26}
x16=−90x_{16} = -90
x17=−38x_{17} = -38
x18=−100x_{18} = -100
x19=−88x_{19} = -88
x20=−92x_{20} = -92
x21=−86x_{21} = -86
x22=−44x_{22} = -44
x23=−80x_{23} = -80
x24=−78x_{24} = -78
x25=−62x_{25} = -62
x26=−82x_{26} = -82
x27=−56x_{27} = -56
x28=−76x_{28} = -76
x29=−64x_{29} = -64
x30=−32x_{30} = -32
x31=−72x_{31} = -72
x32=−20x_{32} = -20
x33=−10x_{33} = -10
x34=−24x_{34} = -24
x35=−14x_{35} = -14
x36=−98x_{36} = -98
x37=−34x_{37} = -34
x38=−30x_{38} = -30
x39=−4x_{39} = -4
x40=−42x_{40} = -42
x41=−12x_{41} = -12
x42=−18x_{42} = -18
x43=−58x_{43} = -58
x44=−68x_{44} = -68
x45=−70x_{45} = -70
x46=−6x_{46} = -6
x47=−54x_{47} = -54
x48=−84x_{48} = -84
x49=−60x_{49} = -60
x50=−46x_{50} = -46
x51=−94x_{51} = -94
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (pi*(1 - sqrt(1 - exp((2*x)*pi^2)) - exp((2*x)*pi^2)))/(1 - exp((2*x)*pi^2)).
π(−e0⋅2π2+(1−1−e0⋅2π2))1−e0⋅2π2\frac{\pi \left(- e^{0 \cdot 2 \pi^{2}} + \left(1 - \sqrt{1 - e^{0 \cdot 2 \pi^{2}}}\right)\right)}{1 - e^{0 \cdot 2 \pi^{2}}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
π(−2π2eπ2⋅2x+π2eπ2⋅2x1−eπ2⋅2x)1−eπ2⋅2x+2π3((1−1−eπ2⋅2x)−eπ2⋅2x)eπ2⋅2x(1−eπ2⋅2x)2=0\frac{\pi \left(- 2 \pi^{2} e^{\pi^{2} \cdot 2 x} + \frac{\pi^{2} e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}{\sqrt{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}}\right)}{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}} + \frac{2 \pi^{3} \left(\left(1 - \sqrt{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right) e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}{\left(1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−π5(4(1−2e2π2xe2π2x−1)(1−e2π2x+e2π2x−1)e2π2x−1+4(2−11−e2π2x)e2π2xe2π2x−1−4+21−e2π2x+e2π2x(1−e2π2x)32)e2π2xe2π2x−1=0- \frac{\pi^{5} \left(\frac{4 \left(1 - \frac{2 e^{2 \pi^{2} x}}{e^{2 \pi^{2} x} - 1}\right) \left(\sqrt{1 - e^{2 \pi^{2} x}} + e^{2 \pi^{2} x} - 1\right)}{e^{2 \pi^{2} x} - 1} + \frac{4 \left(2 - \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 \pi^{2} x}}}\right) e^{2 \pi^{2} x}}{e^{2 \pi^{2} x} - 1} - 4 + \frac{2}{\sqrt{1 - e^{2 \pi^{2} x}}} + \frac{e^{2 \pi^{2} x}}{\left(1 - e^{2 \pi^{2} x}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) e^{2 \pi^{2} x}}{e^{2 \pi^{2} x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(π((1−1−eπ2⋅2x)−eπ2⋅2x)1−eπ2⋅2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi \left(\left(1 - \sqrt{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)}{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(π((1−1−eπ2⋅2x)−eπ2⋅2x)1−eπ2⋅2x)=π\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi \left(\left(1 - \sqrt{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)}{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) = \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=πy = \pi
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (pi*(1 - sqrt(1 - exp((2*x)*pi^2)) - exp((2*x)*pi^2)))/(1 - exp((2*x)*pi^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(π((1−1−eπ2⋅2x)−eπ2⋅2x)x(1−eπ2⋅2x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi \left(\left(1 - \sqrt{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)}{x \left(1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(π((1−1−eπ2⋅2x)−eπ2⋅2x)x(1−eπ2⋅2x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi \left(\left(1 - \sqrt{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)}{x \left(1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
π((1−1−eπ2⋅2x)−eπ2⋅2x)1−eπ2⋅2x=π(−1−e−2π2x+1−e−2π2x)1−e−2π2x\frac{\pi \left(\left(1 - \sqrt{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)}{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}} = \frac{\pi \left(- \sqrt{1 - e^{- 2 \pi^{2} x}} + 1 - e^{- 2 \pi^{2} x}\right)}{1 - e^{- 2 \pi^{2} x}}
- No
π((1−1−eπ2⋅2x)−eπ2⋅2x)1−eπ2⋅2x=−π(−1−e−2π2x+1−e−2π2x)1−e−2π2x\frac{\pi \left(\left(1 - \sqrt{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}}\right) - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}\right)}{1 - e^{\pi^{2} \cdot 2 x}} = - \frac{\pi \left(- \sqrt{1 - e^{- 2 \pi^{2} x}} + 1 - e^{- 2 \pi^{2} x}\right)}{1 - e^{- 2 \pi^{2} x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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